Cho tam giác đều ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác. Đường cao AD, M là một điểm trên BC. Vẽ ME = AB, MF = AC. Gọi I là trung điểm AM
a) Chứng minh DEIF là hình thoi
b) Chứng minh các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy
Cho tam giác đều ABC, đường cao AD. H là trực tâm của tam giác. M là điểm bất kì trên cạnh BC, gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM.
a, tứ giác DEIF là hình gì? vì sao?
b, chứng minh các đường thẳng MH, ID, FE đồng quy
a) Các tam giác vuông AEM và ADM có EI và DI là trung tuyến ứng với AM nên
=> EI = DI ( = ½ AM)
=> Tam giác EID cân tại I
Lại có các tam giác AEI và ADI cân tại I nên:
^EIM = 2^EAI và ^MID = 2^IAD
=> ^EID = ^EIM + ^MID = 2(^EAI + ^IAD) = 2^EAD = 2. 30 = 60 độ
(Vì AD là đường cao nên là phan giác ^A)
Tam giác EID cân lại có ^EID = 60 độ nên đều
Tương tự tam giác IFD đều nên: EI = IF = FD = DE => Tứ giác DEIF là hình thoi
b) Gọi O là giao EF và DI và K là trung điểm AH, ta có IK là trng bình tam giác AMH và OH là trung bình tam giác AID.
=> HO//IK và HM//IK
=> Tia HO và HM trùng nhau hay M, H, O thẳng hàng => MH, ID, EF đồng quy tại O
Cho tam giác đều ABC, H là trực tâm của tam giác, AD là đường cao , M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi E,F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Gọi I là trung điểm của AM
a, tính đó đo góc EID
b, chứng minh tứ giác DEIF là hình thoi
c, chứng minh các đường thẳng MH, ID, È đồng quy
Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC, đường cao AD. Lấy M thuộc BC. Gọi E; F lần lượt là hình chiếu của M trên AB; AC. Gọi I là trung điểm của AM.
a) Xác định dạng của tứ giác DEIF
b) Chứng minh đường thẳng MH; ID; EF đồng quy
Dùng hình của bạn Ngọc nhé
a) \(\Delta ABC\)đều có \(\widehat{BAC}=60^0;\)đường cao AD cũng là phân giác và trực tâm H cũng là trọng tâm
I là trung điểm của cạnh huyền chung AM của các tam giác vuông \(\Delta AEM,\Delta AFM,\Delta ADM\)nên \(IA=IE=ID=IF=\frac{AM}{2}\)(1)
\(\widehat{EIM}\)là góc ngoài của \(\Delta AIE\)cân tại I nên \(\widehat{EIM}=2\widehat{BAM}\). Tương tự, \(\widehat{MID}=2\widehat{MAD};\widehat{MIF}=2\widehat{MAC}\)
\(\widehat{EID}=\widehat{EIM}+\widehat{MID}=2\left(\widehat{BAM}+\widehat{MAD}\right)=2\widehat{BAD}=\widehat{BAC}=60^0\)
\(\widehat{EIF}=\widehat{EIM}+\widehat{MIF}=2\left(\widehat{BAM}+\widehat{MAC}\right)=2.60^0=120^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DIF}=120^0-60^0=60^0\)
\(\Delta EDI\)cân tại I có \(\widehat{EID}=60^0\)nên là tam giác đều, suy ra EI = ED (2)
\(\Delta FDI\)cân tại I có \(\widehat{DIF}=60^0\)nên là tam giác đều, suy ra FI = FD (3)
(1),(2),(3) => IE = ED = DF = IF => DEIF là hình thoi
b) Gọi P là trung điểm AH thì \(AP=PH=\frac{AH}{2}=HD\)
Cho ID cắt EF tại K thì K là trung điểm ID (tính chất hình thoi ABCD)
\(\Delta AMH\)có IP là đường trung bình nên IP // MH (4)
\(\Delta DPI\)có KH là đường trung bình nên IP // KH (5)
(4),(5) => M,K,H thẳng hàng. Vậy MH, ID, EF đồng quy tại K
Cho tam giác ABC đều. M là điểm bất kì thuộc BC,E và F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC.
a.Chứng minh tam giác EBM đồng dạng với tam giác FCM
b.Vẽ đường cao AD của tam giác ABC, gọi I là trung điểm của AM.Chứng minh góc IED bằng góc IDE
c.Chứng minh: Tứ giác DEIF là hình thoi
d.Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh ID, EF, MH đồng quy
Các tam giác vuông AEM và ADM có EI và DI là trung tuyến ứng với AM nên
=> EI = DI ( = ½ AM)
=> Tam giác EID cân tại I
Lại có các tam giác AEI và ADI cân tại I nên:
^EIM = 2^EAI và ^MID = 2^IAD
=> ^EID = ^EIM + ^MID = 2(^EAI + ^IAD) = 2^EAD = 2. 30 = 60 độ
(Vì AD là đường cao nên là phan giác ^A)
Tam giác EID cân lại có ^EID = 60 độ nên đều
Tương tự tam giác IFD đều nên: EI = IF = FD = DE => Tứ giác DEIF là hình thoi
b) Gọi O là giao EF và DI và K là trung điểm AH, ta có IK là trng bình tam giác AMH và OH là trung bình tam giác AID.
=> HO//IK và HM//IK
=> Tia HO và HM trùng nhau hay M, H, O thẳng hàng => MH, ID, EF đồng quy tại O
Cho tam giác ABC đều, H là trực tâm, đường cao AD, M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Kẻ ME, MF lần lượt vuông góc AB, AC. Gọi I trung điểm AM. Chứng minh rằng:
a) DEIF là hình thoi
b) EF, DI, HM đồng quy
GIÚP VỚI :((
Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, BC. E là một điểm nằm trên tia đối của tia DC. Dựng tia Nx sao cho NM là phân giác ∠xNE. Nx giao EM tại K. Chứng minh rằng A, K, C thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC, trực tâm H. M là trung điểm BC. Qua H kẻ một đường thẳng cắt hai cạnh AB, AC tại E, F sao cho HE = HF. Chứng minh rằng MH ⊥ EF.
Bài 5. Cho tam giác ABC. M, N, P lần lượt là các điểm trên cạnh BC, CA, AB. AM giao BN tại I, BN giao CP tại J, CP giao AM tại K. Biết SAIN = SBJP = SCKM = SIJK. Chứng minh rằng SAIJP = SBJKM = SCKIN .
Bài 6. Cho tam giác ABC có trực tâm H. M là điểm nằm trong tam giác sao cho ∠ABM = ∠ACM. Kẻ ME ⊥ AC, MF ⊥ AB. Gọi K là trực tâm tam giác AEF. Chứng minh rằng K, M, H thẳng hàng.
bài 3
Gọi giao điểm của EM với AC là K' ( K' \(\in\)AC )
Ta sẽ chứng minh K' \(\equiv\)K
Thật vậy, gọi giao điểm AC và MN là O ; K'N cắt DC tại I
dễ thấy O là trung điểm MN
do MN // EI \(\Rightarrow\frac{MO}{EC}=\frac{K'O}{K'C}=\frac{ON}{CI}\)\(\Rightarrow EC=CI\)
\(\Delta NEI\)có NC là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại N
\(\Rightarrow\)NC là đường phân giác của \(\widehat{ENI}\)
Mà \(\widehat{K'NE}+\widehat{ENI}=180^o\) có \(NM\perp NC\)nên NM là đường phân giác \(\widehat{K'NE}\)( 1 )
mặt khác : NM là đường phân giác \(\widehat{KNE}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(K'\equiv K\)hay A,K,C thẳng hàng
Trên tia đối tia HC lấy D sao cho HD = HC
Tứ giác DECF có DH = HC ; EH = HF nên là hình bình hành
\(\Rightarrow\)DE // CF
\(\Rightarrow\)DE \(\perp\)CH ; BE \(\perp\)DH
\(\Rightarrow\)E là trực tâm tam giác DBH \(\Rightarrow HE\perp BD\)
Xét \(\Delta DBC\)có DH = HC ; BM = MC nên MH là đường trung bình
\(\Rightarrow\)MH // BD
\(\Rightarrow\)MH \(\perp EF\)
bài 5 :
gọi L là giao điểm của CI và NK
từ \(S_{ANI}=S_{IJK}\) \(\Rightarrow S_{ANI}+S_{AIJ}=S_{IJK}+S_{AIJ}\Rightarrow S_{NAJ}=S_{KAJ}\)
Ta nhận thấy \(\Delta NAJ\)và \(\Delta KAJ\)có chung cạnh AJ nên khoảng cách từ N và K tới AJ bằng nhau
\(\Rightarrow NK//AJ\)
xét hình thang AJKN có C là giao điểm của AN và JK, I là giao điểm của AK và JN
theo bổ đề hình thang, CI cắt NK tại trung điểm của NK hay L là trung điểm của NK
Suy ra khoảng cách từ N đến CI bằng khoảng cách từ K đến CI ( cái này bạn tự c/m bằng cách hạ đường cao xuống xong xét tam giác )
\(\Rightarrow S_{CIN}=S_{CIK}\)
Mà \(S_{AIN}=S_{CKM}\)\(\Rightarrow S_{CIM}=S_{CIA}\Rightarrow AI=IM\)
\(\Rightarrow S_{BIA}=S_{BIM}\)
\(\Leftrightarrow S_{BPJ}+S_{APJI}=S_{IJK}+S_{BJKM}\Leftrightarrow S_{APJI}=S_{BJKM}\)
tương tự : ....
xong rồi suy ra 3 tam giác bằng nhau
Cho tam giác ABC đều . H là trực tâm. kẻ đường cao AD
Điểm M thuộc BC . từ M kẻ ME, MF vuông góc với AB,AC
I là trung điểm của AM.cm
a)DEIF là hình thoi
b) đường thẳng HM đi qua tâm đối sứng của DECF
là s , nếu ai biết lm thì giải hộ mk nha , mk cám ơn
1)Cho hình chữ nhật ABCD, AH vuông góc với AC, M là trung điểm AH, Q là trung điểm CD. Chứng minh BM=MQ.
2)Tam giác AVC đều, trực tâm H, đừng cao AD, M thuộc BC, ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AC, I là trung điểm AM. Chứng minh DEIF là hình thoi
3) Tam giác ABC, D là trung điểm AB. E, F thuộc BC, BE=EF=FC, G thuộc tia đối AB, BG=BD. Chứng minh AF, CD, GE đồng quy.