Ta có: $1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Nên $1+2+3+...+n>0⇔\dfrac{n(n+1)}{2}>100$

$⇔n(n+1)>200$

với $n=1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13$ khi thay vào ta thấy $n(n+1)<200$

nên loại 

với $n=14⇒n(n+1)=14.15=210>200$ chọn

Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất là 14 thỏa mãn đề

umk đây này

Phân số đã cho có dạng: a/2+a+n với a=1,2,3,...,2004.

UCLN(a;2+a+n)=1 do đó a;2+a+n nguyên tố cùng nhau. Do vậy 2+n là số nguyên tố với n nhỏ nhất

Do đó 2+n=2003 (Vì 2003 là số nguyên tố)

Vậy n=2001

n+1;n+3;n+7;n+9 đều là số nguên tố =>n khác số lẻ

=>n={0;2;4;6;...}

Do n là số nhỏ nhất nên ta xét n=0 =>n+1=1(L vì 1 không phải số nguyên tố)

n=2=>n+7=9(L)

n=4=>n+1=5 n+3=7 n+7=11 n+9=13(TM)

Vậy n=4

n + 1 = 1 + 1

n + 3 = 2 + 3

n + 7 = 4 + 7

n + 9 = 2 + 9