biết là sử dụng BĐT này rùi thì áp dụng mà giải hỏi làm chi :D

Cái đấy làgiáo viên mình gợi ý =,=

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(a^3+1+1\ge3a\); 

\(\dfrac{b^3}{a^3}+1+1\ge3.\dfrac{b}{a}\);

\(\dfrac{1}{b^3}+1+1\ge3.\dfrac{1}{b}\);

\(2a+2.\dfrac{b}{a}+2.\dfrac{1}{b}\ge6\).

Cộng vế với vế các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm.

Ta cần c/m: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(1\right)\) (a;b ≥ 0)

Thật vậy:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\\ \Leftrightarrow\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\\ \Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng }\forall a;b\ge0\right)\)

Vậy BĐT Cô-si cho 2 số không âm được c/m.

Ta có \(3a+1\ge\left(\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\right)^2\Leftrightarrow a\left(3-a\right)\ge0\) (luôn đúng)

Do đó \(\sqrt{3a+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\).

Tương tự, \(\sqrt{3b+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}b+1;\sqrt{3c+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}c+1\).

Do đó \(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\ge\sqrt{10}+2\).

Dấu "=" xảy ra khi chẳng hạn a = 3; b = c = 0

Tham khảo:

https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=219071991005&q=Cho%203%20s%E1%BB%91%20th%E1%BB%B1c%20kh%C3%B4ng%20%C3%A2m%20a%2Cb%2Cc%20v%C3%A0%20a%20b%20c%3D3%20T%C3%ACm%20GTLN%20v%C3%A0%20GTNN%20c%E1%BB%A7a%20bi%E1%BB%83u%20th%E1%BB%A9c%20K%3D%5C%28%5Csqrt%7B3a%201%7D%20%5Csqrt%7B3b%201%7D%20%5Csqrt%7B3c%201%7D%5C%29

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\). Thiếp lập 2 BĐT còn lại:

\(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}\right);\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

áp dụng cô si ta có 
a³/b + ab ≥ 2a² 
b³/c + bc ≥ 2b² 
c³/a + ac ≥ 2c² 
+ + + 3 cái lại 
=> a³/b + b³/c + c³/a ≥ 2a² + 2b² + 2c² - ab - ac - bc 
mặt khác ta có 
ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² (cái này chứng minh dễ dàng nhé) 

Cảm ơn bạn nhé

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

\(S=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)

\(\Rightarrow S_{min}=\frac{2}{5}\) khi \(x=y=5\)

a/ Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta được

abc+bca≥2√abc.bca=2cabc+bca≥2abc.bca=2c

Tương tự

abc+cab≥2babc+cab≥2b

bca+cab≥2abca+cab≥2a

Cộng các vế của BĐT

2(abc+bca+cab)≥2(1a+1b+1c)2(abc+bca+cab)≥2(1a+1b+1c)

↔abc+bca+cab≥1a+1b+1c↔abc+bca+cab≥1a+1b+1c

b/ Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta được

abc+bca≥2√abc.bca=2babc+bca≥2abc.bca=2b

Tương tự

abc+cab≥2aabc+cab≥2a

bca+cab≥2cbca+cab≥2c

Cộng các vế của BĐT

2(abc+bca+cab)≥2(a+b+c)2(abc+bca+cab)≥2(a+b+c)

↔abc+bca+cab≥a+b+c

Đề thiếu. Bạn xem lại đề.