\(N=0,7.\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)\)

\(=\frac{7}{10}.\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)\)

N là số tự nhiên thì ta cần chứng minh \(\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)⋮10\)

Ta có: \(2007^{2009}=2007^{4.502}.2007=\overline{...1}.2007=\overline{...7}\)

và \(2013^{1999}=2013^{4.499}.2013^3=\overline{...1}.\overline{...7}=\overline{...7}\)

Do đó \(2007^{2009}\)\(-2013^{1999}=\)\(\overline{...7}-\overline{...7}=\overline{...0}\)

Vậy \(\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)⋮10\)

=> đpcm

Chứng minh N là số nguyên ta cần c/m : 2007^2009 – 2013^1999 có chữ số tận cùng bằng 0

xét  2007^2009 = (((2007²)²)^{502 =} 2007.((......9)²)⁵⁰²= 2007.(....1) có tận cùng là 7

xét  2013^1999= (((2013)²)²)⁴⁹⁹= (....7) .( (....9)²)⁴⁹⁹= (....7) . (...1) có cs tận cùng là 7

=>  2007^2009 – 2013^1999 có chữ số tận cùng bằng 0

Vậy N là số nguyên

tk mình nha

Chứng minh N là số nguyên ta cần c/m : 20072009 – 20131999 có chữ số tận cùng bằng 0.Ta có 20072009 = 2007. ( )5022 2((2007) )= 2007 . ( )5022(...9)= 2007. (….1) có chữ số tận cùng bằng 7. 20131999 = 20133 . ( ) ( )499 4992 2 2((2013) ) (...7) (...9) (...7) (...1)= × = × có chữ số tận cùng bằng 7Vậy 20072009 – 20131999 có chữ số tận cùng bằng 0 ⇒ N là một số nguyên.
 

thanks Hải Anh nha

)ta co 2007^1=....7 
2007^2=....9 
2007^3=...3 
2007^4=....1 
2007^(4n+1)=....7(voi n la so tu nhien), nhu vay thi theo mot trat tu nhat dinh ta co nhu: 
2007^(4n+3)=....3. (1) 
+) tuong tu 2013^1=....3 
2013^2=...9 
2013^3=.....7 
2013^4=...1 
2013^(4n+1)=...3(voi n la so tu nhien), cung vay thi ta co: 2013^(4n+3)=....7 (2) 
Tu (1) va (2) ta co 2007^2009 - 2013^1999 = 2007^(4n+1) - 2013^(4n+4)=....x0(x la so truoc 0)=......x*10 =>....x*10*0.7 la so tu nhien=>N la so tu nhien

N = \(0,7.\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)\)

N = \(\frac{7}{10}.\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)\)

Để N đạt giá trị nguyên 

=> 2007²⁰⁰⁹ - 2013¹⁹⁹⁹ chia hết cho 10

Ta có :

2007²⁰⁰⁹ = 2007.(2007⁴)⁵⁰² = 2007.(.....1)⁵⁰² = 2007.(......1) = (......7)

2013¹⁹⁹⁹ = 2013³.(2013⁴)⁴⁹⁹ = (......7).(.....1)⁴⁹⁹ = (.....7).(.....1) = (......7)

2007²⁰⁰⁹ - 2013¹⁹⁹⁹ = (......7) - (.....7) = 0

=> 2007²⁰⁰⁹ - 2013¹⁹⁹⁹ chia hết cho 10

=> N là số nguyên