- Kẻ MD//BC (D thuộc AC). Trên tia đối của tia CI lấy điểm E sao cho CI=CE.

- Ta có: Góc ABC=Góc AMD (MD//BC và đồng vị).

Góc ACB=Góc ADM (MD//BC và đồng vị).

Góc ABC=Góc ACB (Tam giác ABC cân tại A).

=>Góc AMD=Góc ADM.

=> Tam giác ADM cân tại A.

=> AD=AM.

*AM+AN=2AB =>AD+AN=2AB  =>AD+AN=2AC

Mà AD+DC=AC nên DC+AC=AN=AC+CN =>DC=CN hay C là trung điểm DN.

- Xét tam giác ICN và tam giác ECD có:

IC=CE (gt)

Góc ICN= Góc ECD (đối đỉnh)

DC=CN (cmt)

=> Tam giác ICN= Tam giác ECD (c-g-c).

=> IN=DE (2 cạnh tương ứng).

Góc INC= Góc EDC (2 góc tương ứng) mà 2 góc này ở vị tri so le trong nên DE//IN.

- Xét tam giác MDI và tam giác EID có:

Góc MDI=Góc EID (MD//IE và so le trong).

DI là cạnh chung.

Góc MID= Góc EDI (MI//DE và so le trong).

=> Tam giác MDI= Tam giác EID (g-c-g)

=>MI=DE (2 cạnh tương ứng ) mà IN=DE (cmt) nên MI=IN hay I là trung điểm MN.

a) Xét ΔABCΔABC có:

AB=AC(gt)AB=AC(gt)

=> ΔABCΔABC cân tại A.

=> ˆABC=ˆACBABC^=ACB^ (tính chất tam giác cân).

Ta có:

{ˆABM+ˆABC=1800ˆACN+ˆACB=1800{ABM^+ABC^=1800ACN^+ACB^=1800 (các góc kề bù).

Mà ˆABC=ˆACB(cmt)ABC^=ACB^(cmt)

=> ˆABM=ˆACN.ABM^=ACN^.

Xét 2 ΔΔ ABMABM và ACNACN có:

AB=AC(gt)AB=AC(gt)

ˆABM=ˆACN(cmt)ABM^=ACN^(cmt)

BM=CN(gt)BM=CN(gt)

=> ΔABM=ΔACN(c−g−c)ΔABM=ΔACN(c−g−c)

=> AM=ANAM=AN (2 cạnh tương ứng).

b) Theo câu a) ta có AM=AN.AM=AN.

=> ΔAMNΔAMN cân tại A.

=> ˆM=ˆNM^=N^ (tính chất tam giác cân)

Xét 2 ΔΔ vuông BMEBME và CNFCNF có:

ˆMEB=ˆNFC=900(gt)MEB^=NFC^=900(gt)

BM=CN(gt)BM=CN(gt)

ˆM=ˆN(cmt)M^=N^(cmt)

=> ΔBME=ΔCNFΔBME=ΔCNF (cạnh huyền - góc nhọn)