Đặt : \(a=2^x;b=2^y;c=2^z\)

Khi đó :  \(a,b,c>0;abc=2^{x+y+z}=64\)

Ta cần c/m : \(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow a^3+32-6a^2=\left(a-4\right)^2\left(a+2\right)\)

Theo đó, ta cần sử dụng giả thiết : \(a>0\), suy ra : \(a^3+32\ge6a^2\)

Thiết lập các bđt tương tự cho b và c và cộng theo vế các bđt tìm được, ta có :

\(a^3+b^3+c^3+96\ge6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Ta cần c/m thêm : \(6\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)+96\)

hay : \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=6\sqrt[3]{4096}=96\)

\(\Rightarrowđpcm\)

mik làm cách khác,mấy bạn cho điểm nhá!

Sai đề:x+y+z=6

Đặt\(a=2^x,b=2^y,c=2^z\)

\(\Rightarrow abc=2^{x+y+z}=64\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,ta được:

\(3\sqrt[3]{abc}\le a+b+c\)

Ta có:\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Hay \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

Thật vậy:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM một lần nữa,ta được:

\(a^3+a^3+b^3\ge3a^2b\)

\(a^3+a^3+c^3\ge3a^2c\)

\(a^3+b^3+b^3\ge3b^2a\)

\(a^3+c^3+c^3\ge3c^2a\)

\(b^3+b^3+c^3\ge3b^2c\)

\(b^3+c^3+c^3\ge3c^2b\)

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức,ta được:

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

Dấu "="xẩy ra khi và chỉ khi:\(a=b=c\)

ioi chưa xét dấu = xảy ra khi nào kìa!

Ta có : \(8^x+8^x+8^2\ge3\sqrt[3]{8^x.8^x.8^2}=12.4^x\)

\(8^y+8^y+8^2\ge3\sqrt[3]{8^y.8^y.8^2}=12.4^y\)

\(8^z+8^z+8^2\ge3\sqrt[3]{8^z.8^z.8^2}=12.4^z\)

\(8^x+8^y+8^z\ge3\sqrt[3]{8^x.8^y.8^z}=3\sqrt[3]{8^6}=192\)

Cộng các vế , ta được :

\(3\left(8^x+8^y+8^z+64\right)\ge3\left(4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}+64\right)\)

hay \(8^x+8^y+8^z\ge4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\)

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(2^x;2^y;2^z\right)\)\(\left(a,b,c>0\right)\)\(\Rightarrow\)\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{2^{x+y+z}}=3\sqrt[3]{2^6}=12\)

bđt đề bài \(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Dễ dàng chứng minh bđt trên với bđt phụ \(a^3-4a^2\ge16a-64\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-4\right)^2\left(a+4\right)\ge0\) luon dung 

\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)+16\left(a+b+c\right)-192\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=2; ta có : \(\sqrt[3]{8^x.8^x}=\sqrt[3]{64^x}=4^x\)

\(8^x+8^x+8^2\ge3\sqrt[3]{8^x.8^x.8^2}=12.4^x\)

\(8^y+8^y+8^2\ge12.4^y\)

\(8^z+8^z+8^2\ge12.4^z\)

Cộng 3 vế BĐT trên => đpcm

Một cách khác:

Đặt $(2^x,2^y,2^z)=(a,b,c)\Rightarrow abc=2^{x+y+z}=2^6=64$

Bài toán trở thành:

Cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=64$. CMR: $a^3+b^3+c^3\geq 4(a^2+b^2+c^2)$

------------------------------

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky và AM-GM:

$(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}(1)\)

Mà: \(a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq \frac{(a+b+c).3\sqrt[3]{abc}}{3}=\frac{(a+b+c).3\sqrt[3]{64}}{3}=4(a+b+c)(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2).4(a+b+c)}{a+b+c}=4(a^2+b^2+c^2)\) (đpcm)

Vậy.......

đề sai khỏi làm

🤣🤣🤣

Cho các số dương x,y,z t/m 1/x+1/y+1/z=4.

Cm: 1/(2x+y+z)+1/(x+2y+z)+1/(x+y+2z) <=1