Hãy chứng minh
từ \(b^2=ac\) chứng minh \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\)
các bạn làm theo cách đặt k vào giúp mình đi
Chào các bạn, hôm nay mình có một bài toán khá khó muốn nhờ các bạn giải giúp
a) Chứng minh rằng nếu\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)thì \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}\)
b) Cho \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\). Hãy chứng minh: \(\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\frac{ab}{cd}\)
a) Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+b^2}{\left(dk\right)^2+d^2}=\frac{b^2.k^2+b^2}{d^2.k^2+d^2}=\frac{b^2.\left(k^2+1\right)}{d^2.\left(k^2+1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\)(1)
\(\frac{ab}{cd}=\frac{bk.b}{dk.d}=\frac{b^2}{d^2}\)(2)
Từ (1) và (2), ta có: \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}\)
b) Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)
\(\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\frac{\left(bk-b\right)^2}{\left(dk-d\right)^2}=\frac{\left[b.\left(k-1\right)\right]^2}{\left[d.\left(k-1\right)\right]^2}=\frac{b^2}{d^2}\)(1)
\(\frac{ab}{cd}=\frac{bk.b}{dk.d}=\frac{b^2}{d^2}\)(2)
Từ (1) và (2), ta có: \(\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\frac{ab}{cd}\)
a) Từ \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)\(\Rightarrow\left(\frac{a}{c}\right)^2=\left(\frac{b}{d}\right)^2=\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)
mà \(\left(\frac{a}{c}\right)^2=\frac{a}{c}.\frac{a}{c}=\frac{a}{c}.\frac{b}{d}=\frac{ab}{cd}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}\)
b) Từ \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)\(\Rightarrow\left(\frac{a}{c}\right)^2=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
mà \(\left(\frac{a}{c}\right)^2=\frac{a}{c}.\frac{a}{c}=\frac{a}{c}.\frac{b}{d}=\frac{ab}{cd}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\frac{ab}{cd}\)
chứng minh \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)
làm ơn làm giúp mình nha mình cần gấp lắm
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b^2}.\frac{b^2}{c^2}}=2\frac{a}{c}\\ \frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2\frac{c}{b}\\ \frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\)
\(=>2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
=> đpcm
các bạn giúp mình với:
cho a, b, c lần lượt là độ dài cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC.
a) chứng minh \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)
b) chứng minh \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\sin\frac{\widehat{B}}{2}.\sin\frac{\widehat{C}}{2}\le\frac{1}{8}\)
c) đường cao AD, BE cắt nhau ở h. chứng minh \(AH.HD\le\frac{BC^2}{4}\)
Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:
\(\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{a+c}{ab+c^2}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.\)\(\frac{1}{c}\).
Bài 2: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: abc=1.
Chứng minh rằng P= \(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{3}{2}\).
AI GIẢI GIÚP EM VỚI... NHIỀU BÀI KHÓ THẾ NÀY EM SAO LÀM NỔI!!
câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m
Để chừng nào t làm được câu 1 thì t giải giúp cho 1 lần luôn
Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!
Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).
Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng:
\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0\).
Bài 3: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\).
Bài 4:Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Chứng minh rằng:
a)\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge1\).
b)\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\).
c)\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).
Bài 5: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:
\(\frac{2a^2+ab}{\left(b+c+\sqrt{ca}\right)^2}+\frac{2b^2+bc}{\left(c+a+\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{2c^2+ca}{\left(a+b+\sqrt{bc}\right)^2}\ge1\).
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)
\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)
4c,
\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}=a+b+c-\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}+3--\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}\)\(\ge6-2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=3\)
bài 1 cho a, b, c là các số dương chứng minh rằng \(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}>=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+b^2}{2}}\)
bài 2 cho a, b, c là các số dương chứng minh rằng
\(\frac{a^2}{b}\)\(\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}>=\)\(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-cb+c^2}+\sqrt{a^2-ac+c^2}\)
CÁC BẠN GIÚP MÌNH VỚI NHÉ <3 cảm ơn trước ạ :)
\(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{b.\frac{a^2-ab+b^2}{b}}=\sqrt{b.\left(\frac{a^2}{b}-a+b\right)}\le\frac{\frac{a^2}{b}-a+2b}{2}\)
tương tự mấy cái trên
Cho \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\). Chứng minh rằng:
a, \(\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{b}\)
b, \(\frac{b^2-a^2}{a^2+c^2}=\frac{b-a}{a}\)
giúp mình giải chi tiết với các bạn ơi
\(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\Rightarrow ab=c^2\)
a, \(\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a^2+ab}{b^2+ab}=\frac{a\left(a+b\right)}{b\left(a+b\right)}=\frac{a}{b}\)
b, \(\frac{b^2-a^2}{a^2+c^2}=\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a^2+ab}=\frac{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}{a\left(a+b\right)}=\frac{b-a}{a}\)
Mình gọi a1,a2,a3,a4 là a,b,c,d nha
Ta có: \(\hept{\begin{cases}b^2=a\cdot c\\c^2=b\cdot d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\end{cases}}}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a\cdot b\cdot c}{b\cdot c\cdot d}=\frac{a}{d}\)\(\left(1\right)\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)\(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)(\(\left(ĐPCM\right)\)
cho a, b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1. chứng minh\(\frac{b^2+c}{c+a}\) +\(\frac{a^2+b}{b+c}\)+\(\frac{c^2+a}{a+b}\)> hoặc =2
giúp mình nhé các bạn . mình tick cho
1) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì: 3n + 2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10
2) Số A được chia thành 3 số theo tỉ lệ: \(\frac{2}{5}:\frac{3}{4}:\frac{1}{6}\). Biết rằng tổng các bình phương của 3 số đó là 24309.
3) Cho \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\)Chứng minh rằng : \(\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{b}\)
Các bạn làm được câu nào thì giúp mình nha! 1 câu thôi cũng được!
1) = 3n(32+1) - 2n(22+1)
2)A=m.n.p
\(\frac{m^2}{\frac{2^2}{5^2}}=\frac{n^2}{\frac{3^2}{4^2}}=\frac{p^2}{\frac{1^2}{6^2}}=\frac{m^2+n^2+p^2}{\frac{2^2}{5^2}+\frac{3^2}{4^2}+\frac{1^2}{6^2}}\)
3) \(\frac{a^2}{\text{\text{c}^2}}=\frac{\text{c}^2}{b^2}=\frac{a^2+\text{c}^2}{b^2+\text{c}^2}\)\(\frac{a^2}{\text{c}^2}=\frac{\text{c}^2}{b^2}=\frac{a^2+\text{c}^2}{\text{c}^2+b^2}\)
mà ab=c2
suy ra đpcm