Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

\(AH^2=BH.CH=1.4=4\Rightarrow AH=\sqrt{4}=2\left(cm\right)\)

\(BC=BH+CH=1+4=5\left(cm\right)\)

\(AB^2=BH.BC=1.5=5\Rightarrow AB=\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(AC^2=BC.CH=5.4=20\Rightarrow AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AB.AC=\sqrt{5}.2\sqrt{5}=10\left(cm\right)\)

\(\Delta ABH\approx\Delta CAH\)\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AH}{CH}\Rightarrow\frac{5}{6}=\frac{30}{CH}\Rightarrow CH=36\)

mà \(BH.CH=AH^2\Rightarrow BH=\frac{AH^2}{CH}=\frac{30^2}{36}=25\)

a) Xét \(\Delta\)vuông ABH và \(\Delta\)vuông ACH, ta có:

AH là cạnh chung

AB=AC (gt)

Do đó: \(\Delta\)ABH=\(\Delta\)ACH (c.h-c.g.v)

\(\Rightarrow\) BH=HC (2 cạnh tương ứng)

Vậy BH=HC=BC:2=3cm

b) Áp dụng định lý PI-TA-GO vào \(\Delta\)vuông ABH, ta có:

\(AH^2+BH^2=AB^2\)

\(AH^2+3^2=5^2\)

\(AH^2=16\)

\(AH=4cm\)

c) Ta có: \(\widehat{A}_1=\widehat{A_2}\) (\(\Delta ABH=\Delta ACH\))

\(\Rightarrow\) AH là đường phân giác. (*)

Ta lại có: BH=CH (c/m trên)

\(\Rightarrow\) AH là đường trung tuyến. (**)

Từ (*) và (**), ta có:

AH thoả mãn 2 trong 4 loại đường.

\(\Rightarrow\) AH vừa là đường trung trực, trung tuyến, đường cao, phân giác

a: \(BC=\sqrt{9^2+6^2}=3\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{6\cdot9}{3\sqrt{13}}=\dfrac{18\sqrt{13}}{13}\left(cm\right)\)

b: Xét ΔEBF vuông tạiE và ΔEDC vuông tại E có

\(\widehat{EBF}=\widehat{EDC}\)

Do đó: ΔEBF\(\sim\)ΔEDC

d: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBED

Suy ra: BA=BE và DA=DE

Xét ΔADF vuông tại A và ΔEDC vuông tại E có

DA=DE

\(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\)

DO đó: ΔADF=ΔEDC

Suy ra: AF=EC

=>BF=BC

=>ΔBFC cân tại B

mà BD là đường phân giác

nên BD la đường cao