đánh sai đề rồi bạn êi, phải là \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}=3\Leftrightarrow2x\sqrt{1-y^2}\) \(+2y\sqrt{2-z^2}+2z\sqrt{3-x^2}=6\)

<=> \(\left(x-\sqrt{1-y^2}\right)^2+\left(y-\sqrt{2-z^2}\right)^2+\left(z-\sqrt{3-x^2}\right)^2=0\)

<=> ..bla bla tự làm nhá !

Thanks bạn nhiều nhiều lắm nha

Sử dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ 3 số \(\left(\sqrt{1-y^2};\sqrt{2-z^2};\sqrt{3-x^2}\right)\) và \(\left(x,y,z\right)\) ta có

\(\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\cdot\left[6-\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]\left(1\right)\)

Đặt \(x^2+y^2+z^2=a\) ta có Bất đẳng thức (1) tương đương

\(9=\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}\right)^2\le\left(a\right)\cdot\left(6-a\right)\)

\(=-a^2+6a-9+9=-\left(a-3\right)^2+9\le9\)

Dấu "=" xảy ra khi   Giải hệ phương trình trên ta được 

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=x^2+y^2+z^2=3\\\frac{x^2}{1-y^2}=\frac{y^2}{2-z^2}=\frac{z^2}{3-x^2}=1\end{cases}}\)   giải hệ pt ta có \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\\z=\sqrt{2}\end{cases}}\)

Thế nào nó bị lỗi nên không hiển thị

\(z=\sqrt{2}\)nữa olm bị sao mà lỗi suất vậy

có \(x\sqrt{1-y^2}\le\frac{x^2+1-y^2}{2}\) 

\(y\sqrt{2-z^2}\le\frac{y+2-z^2}{2}\) cô si

\(z\sqrt{3-x^2}\le\frac{z+3-x^2}{2}\)

\(\Rightarrow x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}\le\frac{6}{2}=3\)

dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\sqrt{1-y^2}\\y=\sqrt{2-z^2}\\z=\sqrt{3-x^2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=1-y^2\\y^2=2-z^2\\z^2=3-x^2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\\z=\sqrt{2}\end{cases}}}\)

chết mình ghi thiếu ^2 ở y và z :v hjhj

khôn  =))

\(x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\Rightarrow x-y-z=2\sqrt{yz}-2\sqrt{3}....\)
Do x,y,z thuộc N \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}yz=9\\x=y+z\end{cases}}\). đến đây đơn giản rồi nhé .
GL

chắc j \(\sqrt{yz}-\sqrt{3}\) là số vô tỉ? Bạn thử cm cho mk đi!!!

ấy nhầm. yz=3. 
do VT thuộc tập Z ( là các số nguyên) => VP nguyên.
2sqrt(3) vô tỉ => 2sqrt(yz) =2sqrt(3) thì nó mới nguyên được chứ nhỉ.
:|

\(\sqrt{x-y+z}=\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z}\)

Điều kiện tự làm nhé

\(\Leftrightarrow x-y+z=x+y+z+2\left(\sqrt{xz}-\sqrt{xy}-\sqrt{yz}\right)\)

\(\Leftrightarrow y+\sqrt{xz}-\sqrt{xy}-\sqrt{yz}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{z}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\z=y\end{cases}}\)

Bình phương 2 vế và phân tích nhân tử (: 
 

Pt đầu tương đương: \(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{y^2}+4\sqrt[3]{z^2}=7\)

Pt 2 tương đương:

\(\left(xy^2+z^4\right)^2-\left(xy^2-z^4\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow4xy^2z^4=4\)

\(\Leftrightarrow xy^2z^4=1\) (1)

Quay lại pt đầu, áp dụng AM-GM:

\(7=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}+\sqrt[3]{z^2}+\sqrt[3]{z^2}+\sqrt[3]{z}\ge7\sqrt[7]{\sqrt[3]{x^2}.\sqrt[3]{y^4}.\sqrt[3]{z^8}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[21]{x^2y^4z^8}\le1\)

\(\Leftrightarrow x^2y^4z^8\le1\)

\(\Rightarrow\left|xy^2z^4\right|\le1\Rightarrow xy^2z^4\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=y^2=z^2\\xy^2z^4=1\\x>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\pm1\\z=\pm1\end{matrix}\right.\)

Các bộ thỏa mãn là: \(\left(1;1;1\right);\left(1;1;-1\right);\left(1;-1;1\right);\left(1;-1;-1\right)\)