Giờ bạn cần bài này nữa không 

1.   Đặt A = x²+y²+z²

             B = xy+yz+xz

             C = 1/x + 1/y + 1/z

Lại có (x+y+z)²=9

             A + 2B = 9

  Dễ chứng minh A>=B 

      Ta thấy 3A>=A+2B=9 nên A>=3 (khi và chỉ khi x=y=z=1)

Vì x+y+z=3 => (x+y+z) /3 =1 

    C = (x+y+z) /3x  +  (x+y+x) /3y + (x+y+z)/3z

C = 1/3[3+(x/y+y/x) +(y/z+z/y) +(x/z+z/x) 

Áp dụng bất đẳng thức (a/b+b/a) >=2

=> C >=3 ( khi và chỉ khi x=y=z=1)

P =2A+C >= 2.3+3=9 ( khi và chỉ khi x=y=x=1

Vậy ...........

Câu 2 chưa ra thông cảm 

x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)

P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)

>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)

x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8 

minP=8 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{9}{xy+yz+zx}\)

\(M\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{7}{xy+yz+zx}\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :

\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)

và \(\frac{7}{xy+yz+xz}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}=21\)

\(\Rightarrow M\ge9+21=30\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có:

\(M=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)

\(\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{7}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}=30\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=¹/₃

x+xy+y+1=9

(x+1)(y+1)=9

áp dụng bđt ab<=(a+b)^2/4

->9<=(x+y+2)^2/4 -> x+y >=4

....

\(y\ge xy+1\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{y}{x}}\ge2\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)

\(Q=\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+2\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{\dfrac{y}{x}+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}\)

Đặt \(\dfrac{y}{x}=a\ge4\)

\(Q=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}-\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{\left(a-4\right)\left(3a-1\right)}{4\left(a^2+1\right)}+\dfrac{5}{4}\ge\dfrac{5}{4}\)

\(Q_{min}=\dfrac{5}{4}\) khi \(a=4\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)

CM : với a,b > 0 thì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b};\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b

Ta có : P = \(\frac{5}{x^2+y^2}+\frac{3}{xy}=\left(\frac{5}{x^2+y^2}+\frac{5}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}=5.\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\)

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{9}\)

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{1}{2xy}\ge\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=\frac{2}{9}\)

\(\Rightarrow P\ge5.\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{22}{9}\)

Dấu " = "xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = 1,5

Thanks bạn nhiều lắm ạ

Nhận xét :

x² lớn hơn 0 ( với mọi x dương )

y² lớn hơn 0 ( với mọi y dương )

Để A_min => \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\) Min => x²  và y²  max 

Nhưng x + y = 2 

=> x = y = 1 

A min = \(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{3}{1}=5\) 

Vậy A min = 5 <=>  x = y = 1

\(A=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{xy}\) và x + y = 2

AM-GM => x + y >= \(2\sqrt{xy}\)

=> \(2\sqrt{xy}\)<= 2

=> xy <= 1

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{1}{xy}\)

=> A >= 1/xy + 3/xy

=> A >= 4/xy

mà xy <= 1

=> A >= 4/1

=> A>= 4 

dấu bằng sảy ra khi x = y = 2/2 = 1

Vậy GTNN của A là 4 khi x = y = 1

Nhầm 1/x^2 + 1/y^2 >= 2/xy

=> A >= 5

khi x = y = 1 nhé