Để M có nghĩa thì \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-3\ne0\\2-\sqrt{x}\ne0\\x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne4\\x\ne9\end{cases}}}\)

ta có \(M=\frac{2\sqrt{x}-9+\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(M=\frac{x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

b.\(M=5=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\Leftrightarrow\sqrt{x}=4\Leftrightarrow x=16\)

a.

\(A=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{3\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{9\sqrt{x}-10}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\frac{x+2\sqrt{x}+3\sqrt{x}-6-9\sqrt{x}+10}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\frac{x-4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)

b. Ta có

\(\sqrt{x}=\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3-2\cdot\sqrt{3}\cdot1+1}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}=\sqrt{3}-1\)

Thay vào A ta được

\(A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\\ =\frac{\sqrt{3}-1-2}{\sqrt{3}-1+2}\\ =\frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}+1}\\ =\frac{\left(\sqrt{3}-3\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}\\ =\frac{6-4\sqrt{3}}{2}=3-2\sqrt{3}\)

c. \(A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2-4}{\sqrt{x}+2}=1-\frac{4}{\sqrt{x}+2}\)

Để \(A\in Z\Leftrightarrow4⋮\sqrt{x}+2\Leftrightarrow\sqrt{x}+2\inƯ\left(4\right)\)

Ta thấy \(\sqrt{x}\ge0\forall x\ge0\left(ĐK\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}+2\ge2\)

Nên \(\sqrt{x}+2\in\left\{2;4\right\}\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}+2=2\\\sqrt{x}+2=4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}=2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(tm\right)\\x=4\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy x=0 thì A thuộc Z