Cho x và y là các số dương thỏa mãn x+y=2
Chứng minh rằng \(x^2.y^2.\left(x^2+y^2\right)\le2\)
Những câu hỏi liên quan
Cho x và y là các số dương thỏa mãn x y 2Chứng minh rằng xy<1
Cho x,y,z thoã mãn (z-1)x-y=1 và x+2y=2
Chứng minh rằng \(\left(2x-y\right)\left(z^2-z+1\right)\)=7 tìm tất cả các số nguyên thoã mãn phương trình trên
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy+yz+xz=12. Chứng minh rằng:
\(\sqrt[x]{\dfrac{\left(12+y^2\right)\left(12+z^2\right)}{12+x^2}}\)+ \(\sqrt[y]{\dfrac{\left(12+x^2\right)\left(12+z^2\right)}{12+y^2}}\)+ \(\sqrt[z]{\dfrac{\left(12+x^2\right)\left(12+y^2\right)}{12+z^2}}\)
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x+y=2 và hằng số k \(k\in Z^+.CMR:x^ky^k\left(x^k+y^k\right)\le2\).Hình như dùng quy nạp thì phải
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x+y=2 và hằng số k \(k\in Z^+.CMR:x^ky^k\left(x^k+y^k\right)\le2\).Hình như dùng quy nạp thì phải
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(x\le2\left(y+z\right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(A=\frac{x}{y^2+z^2}-\frac{1}{\left(x+y+z\right)^3}\)
Đặt: y + z = a thì ta có
\(x\le2a\)
Từ đề bài thì ta có thể suy ra
\(A\le\frac{2x}{a^2}-\frac{1}{\left(x+a\right)^3}\)
\(\le\frac{4}{a}-\frac{1}{27a^3}=\frac{108a^2-1}{27a^3}\)
\(=16-\frac{\left(6a-1\right)^2\left(12a+1\right)}{27a^3}\le16\)
Vậy GTLN là \(A=16\). Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=z=\frac{1}{12}\end{cases}}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Làm sao để tách được bởi vì làm sao dự đoán dượcđiểm rơi?
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Cho x; y; z là các số dương nhỏ hơn 1 thỏa mãn x + y + z + 2\(\sqrt{xyz}\)= 1. Chứng minh rằng \(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}+\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}+\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=1+\sqrt{xyz}\)
\(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+1\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+x+y+z+2\sqrt{xyz}\right)}\)
\(=\sqrt{x\left(yz+x+2\sqrt{xyz}\right)}=\sqrt{x^2+2x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(x+\sqrt{xyz}\right)^2}\)
\(=x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự: \(\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}=y+\sqrt{xyz}\) ; \(\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=z+\sqrt{xyz}\)
\(\Rightarrow VT=x+y+z+3\sqrt{xyz}=1-2\sqrt{xyz}+3\sqrt{xyz}=1+\sqrt{xyz}\) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
18 tháng 4 2022 lúc 21:29
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn x+y+z=6 và xy+yz+xz=9
Chứng minh rằng (x-1)+\(\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^4\)<88
1. Cho a,b,c là các số dương a+b+c=1. Tìm GTLN của P=\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\)
2. Cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y=2. Chứng minh
\(x^3y^3\left(x^3+y^3\right)\le2\)
Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c.1+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+c}.\frac{b}{b+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)( bđt Cosi)
Tương tự như trên: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right);\sqrt{\frac{ac}{b+ac}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\right)\)
=> \(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)=\frac{3}{2}\)
"=" Xảy ra khi và chỉ khi:
\(\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+c}\Leftrightarrow a\left(b+c\right)=b\left(a+c\right)\Leftrightarrow a=b\)
\(\frac{a}{a+b}=\frac{c}{b+c}\Leftrightarrow a=c\)
\(\frac{c}{a+c}=\frac{b}{a+b}\Leftrightarrow b=c\)
\(a+b+c=1\)
Từ các điều trên ta có đc: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy GTLN của P=3/2 khi và chỉ khi a=b=c=1/3
Đúng 0
Bình luận (0)