Công thức đúng nhé bạn

✞๖ۣۜ ☾ ɪ’ʟʟ ɓє ƴσυʀ ɓєѕтƒʀɪєη∂,⁀ᶜᵘᵗᵉ(♥)ღ༻ bạn phân tích đúng rồi nha !

Cho \(a+b+c=1\) nhé các bạn.

Đặt ab + bc + ca = q; abc = r. Ta có:

\(A=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)+6\left(a+b+c\right)+27}{abc+3\left(ab+bc+ca\right)+9\left(a+b+c\right)+27}-\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(A=\dfrac{q+33}{r+3q+36}-\dfrac{1}{3q}\).

Theo bất đẳng thức Schur: \(a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3+9abc\ge4\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow9r\ge4q-1\Leftrightarrow r\ge\dfrac{4q-1}{9}\).

Từ đó \(A\le\dfrac{q+33}{\dfrac{4q-1}{9}+3q+36}-\dfrac{1}{3q}\)

\(\Rightarrow A\leq \frac{27q^2+860q-323}{93q^2+969q}\)

\(\Rightarrow A+\dfrac{1}{10}=\dfrac{\left(3q-1\right)\left(121q+3230\right)}{30q\left(31q+323\right)}\le0\). (Do \(q=ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\))

\(\Rightarrow A\leq \frac{-1}{10}\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

a) \(=x^3-\dfrac{1}{27}-x^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{9}=x^3-x^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{2}{27}\)

b) \(=x^6-6x^4+12x^2-8-x^3+x+x^2-3x=x^6-6x^4-x^3+13x^2-2x-8\)

a)Ta có :

(a+b+c)² - (ab+bc+ca) =0 <=> a²+b²+c²+ab+bc+ca =0

<=>2a²+2b²+2c²+2ab+2bc+2ca=0

<=>(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²=0

<=>a+b =b+c =c+a =0

<=>a=b=c=0

Vậy điều kiện để phân thức M được xác định là a;b;c không đồng thời bằng 0.

b)Ta có hằng thức: (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)

Ta đặt a²+b²+c²=x ; ab+bc+ca=y.Khi đó (a+b+c)²= x+2y

Ta có: 

\(M=\frac{x\left(x+2y\right)+y^2}{x+2y-y}=\frac{x^2+2xy+y^2}{x+y}=\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\)

= a²+b²+c²+ab+bc+ca.

=a²+b²+c²+ab+bc+ca

Gt thêm nhe

a)\(M=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ac\right)}\)

Biểu thức có nghĩa\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ac\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-ab-bc-ac\ne0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ne0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ac\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(b^2+2bc+c^2\right)+\left(a^2+2ac+c^2\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2\ne0\)

Mà \(\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c=0\)

nên M có nghĩa\(\Leftrightarrow a,b,c\)không đồng thời bằng 0

\(=x^6-6x^4+12x^2-8-x^3+x+6x^2-18x\\ =x^6-6x^4-x^3+18x^2-17x-8\)

đây là hổ đơ(holder) mà

áp dụng hổ đơ ta có:

\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)=\left(1+\sqrt[3]{a}^3\right)\left(1+\sqrt[3]{b}\right)\left(1+\sqrt[3]{c}\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)

có thể giải = cách khác ko bn?

\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow1+abc+ab+bc+ca+a+b+c\ge1+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}+3\sqrt[3]{abc}+abc\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}+3\sqrt[3]{abc}\)

Giờ áp dujgn BĐT AM-GM cho VT là ra VP nhé