b, vì a và b là 2 stn liên tiếp nên a=b+1 hoặc b=a+1

cho b=a+1

\(A=a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+a^2b^2=a^2+\left(a+1\right)^2+a^2\left(a+1\right)^2\)

\(=a^2+\left(a+1\right)^2\left(a^2+1\right)=a^2+\left(a^2+2a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=a^2+2a\left(a^2+1\right)+\left(a^2+1\right)^2=\left(a^2+a+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{A}=\sqrt{\left(a^2+a+1\right)^2}=a^2+a+1=a\left(a+1\right)+1=ab+1\)

vì a b là 2 stn liên tiếp nên sẽ có 1 số chẵn\(\Rightarrow ab\)chẵn \(\Rightarrow ab+1\)lẻ \(\Rightarrow\sqrt{A}\)lẻ (đpcm)

Làm cả câu a đi nhé! Nếu bạn làm được cả câu a thì mình k!  ^_^  *_*

Sửa đề : \(A=\left(n^2+1\right)+n^4+1\)

\(\Rightarrow A=\left(n^2\right)^2+2n^2+1+n^2-2n^2+1\)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2+\left(n^2-1\right)^2\)

Vậy ...........................

Đặt \(k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\)\(\left(k\inℤ\right)\)

Giả sử k không là số chính phương 

Cố định số nguyên dương k,sẽ tồn tại cặp (a,b) . Ta kí hiệu 

\(S=\left(\left(a,b\right)\in N\times N|\frac{a^2+b^2}{ab+1}=k\right)\)

Theo nguyên lí cực hạn thì các cặp thuộc S tồn tại (a,b) sao cho a+b đạt min

Giả sử \(a\ge b>0\)cố định b ta còn số nữa khác a theo phương trình \(k=\frac{x+b^2}{xb+1}\)

\(\Leftrightarrow x^2-kbx+b^2-k=0\)phương trình có nghiệm a

Theo \(VIET:\hept{\begin{cases}a+x_2=kb\\a.x_2=b^2-k\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x_2=kb-a=\frac{b^2-k}{a}\)

Dễ thấy x₂ nguyên

Nếu x₂<0 thì \(x_2^2-kbx_2+b^2-k\ge x^2_2+k+b^2-k>0\)(vô lí)   \(\Rightarrow x_2\ge0\)do đó \(\left(x_2,b\right)\in S\)

Do \(a\ge b>0\Rightarrow x_2=\frac{b^2-k}{a}< \frac{a^2-k}{a}< a\)

\(\Rightarrow x_2+b< a+b\)(trái với a+b đạt min)

=> k là số chính phương (đpcm)

Xong rồi đấy,bạn tinck cho mình với nhé 

thật ra nó là lớp 7 đấy nhưng mình nghĩ lớp 8 mới giỏi mói giải đc

Giả sử \(a^2+1\) và \(b^2+1\) cùng chia hết cho số nguyên tố p

\(\Rightarrow a^2-b^2⋮p\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b⋮p\\a+b⋮p\end{matrix}\right.\).

+) Nếu \(a-b⋮p\) thì ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)-\left(a-b\right)^2⋮p\Rightarrow\left(ab+1\right)^2⋮p\Rightarrow ab+1⋮p\) (vô lí do (a - b, ab + 1) = 1)

+) Nếu \(a+b⋮p\) thì tương tự ta có \(ab-1⋮p\). (vô lí)

Do đó \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\).

Giả sử \(\left(a+b\right)^2+\left(ab-1\right)^2=c^2\) với \(c\in\mathbb{N*}\)

Khi đó ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=c^2\).

Mà \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\) nên theo bổ đề về số chính phương, ta có \(a^2+1\) và \(b^2+1\) là các số chính phương.

Đặt \(a^2+1=d^2(d\in\mathbb{N*})\Rightarrow (d-a)(d+a)=1\Rightarrow d=1;a=0\), vô lí.

Vậy ....

Cho a là số tự nhiênchia 6 dư 2 và b là số tự nhiên chia 6 dư 3. Chứng minh axb chia hết cho 6

Bài này đề thi IMO của hs lớp 12 sao lại hỏi ở đây