\(A=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{4x^2-12x+9}\)

\(=\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}=\left|2x-1\right|+\left|2x-3\right|=\left|2x-1\right|+\left|3-2x\right|\ge\left|2x-1+3-2x\right|=2\)

\(\Rightarrow A\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(2x-1\right)\left(3-2x\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le x\le\dfrac{3}{2}\)

tích mình đi

ai tích mình

mình ko tích lại đâu

thanks

\(\sqrt{\left(1+2x\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}=|1+2x|+|2x-3|=|1+2x|+|3-2x|>=|1+2x+3-2x|=4\)

=>p min=4 

dau "="xay ra  <=>(1-2x)(3-2x)>=0

=>x

Ta có: \(P=\sqrt{1+4x+4x^2}+\sqrt{4x^2-12x+9}\)

    \(\Leftrightarrow P=\sqrt{4x^2+4x+1}+\sqrt{9-12x+4x^2}\)

    \(\Leftrightarrow P=\sqrt{\left(2x+1\right)^2}+\sqrt{\left(3-2x\right)^2}\)

    \(\Leftrightarrow P=\left|2x+1\right|+\left|3-2x\right|\)

Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)cho phương trình \(P,\)ta có:

     \(P=\left|2x+1\right|+\left|3-2x\right|\ge\left|2x+1-3-2x\right|=\left|-2\right|=2\)

     \(\Rightarrow\)\(P_{min}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left(2x+1\right).\left(3-2x\right)>0\)

C₁: Các bạn lập bảng xét dấu nha mình làm cách kia cho các bạn dễ hiểu

C₂:

+ \(\hept{\begin{cases}2x+1>0\\3-2x>0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}2x>-1\\-2x>-3\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x>-\frac{1}{2}\\x< \frac{3}{2}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(-\frac{1}{2}< x< \frac{3}{2}\)( TM )

+ \(\hept{\begin{cases}2x+1< 0\\3-2x< 0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}2x< -1\\-2x< -3\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x< -\frac{1}{2}\\x>\frac{3}{2}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(-\frac{1}{2}>x>\frac{3}{2}\)( L )

     \(\Rightarrow\)\(-\frac{1}{2}< x< \frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{min}=2\)\(\Leftrightarrow\)\(-\frac{1}{2}< x< \frac{3}{2}\)

cx phân tích thành nhân tử nha bạn

dùng hđt đó, sau đó lí luận

Bài 1: \(\sqrt{x^2+2x+5}=\sqrt{\left(x^2+2x+1\right)+4}\)

\(=\sqrt{\left(x+1\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=-1\)

Vậy...

Bài 2:

\(\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{4x^2-12x+9}\)

\(=\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}\)

\(=\left|2x-1\right|+\left|2x-3\right|\)\(=\left|2x-1\right|+\left|3-2x\right|\)

\(\ge\left|2x-1+3-2x\right|=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{2}\)

Vạy....

Ta có:

\(P=\sqrt{4x^2-12x+9}+\sqrt{4x^2-8x+4}\)

\(=\sqrt{\left(2x\right)^2-2.2x.3+3^2}+\sqrt{\left(2x\right)^2-2.2x.2+2^2}\)

\(=\sqrt{\left(2x-3\right)^2}+\sqrt{\left(2x-2\right)^2}\)

\(=\left|2x-3\right|+\left|2x-2\right|\)

\(=\left|2x-3\right|+\left|2-2x\right|\)

Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:

\(P\ge\left|\left(2x-3\right)+\left(2-2x\right)\right|=\left|-1\right|=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-3\ge0\\2-2x\ge0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{3}{2}\\x\le1\end{cases}}\)

Vậy Min_P = 1 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{3}{2}\\x\le1\end{cases}}\)

\(P=\sqrt{4x^2-12x+9}+\sqrt{4x^2-8x+4}\)

\(=\sqrt{\left(2x-3\right)^2}+\sqrt{\left(2x-2\right)^2}\)

\(=|2x-3|+|2-2x|\)

=>\(P\ge|\left(2x-3\right)+\left(2-2x\right)|=|-1|=1\)

\(P=\sqrt{4x^2-12x+9}+\sqrt{4x^2-8x+4}\)

\(=\sqrt{\left(2x-3\right)^2}+\sqrt{\left(2x-2\right)^2}\)

\(=\left|2x-3\right|+\left|2x-2\right|\)

\(=\left|3-2x\right|+\left|2x-2\right|\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)ta có :

\(P=\left|3-2x\right|+\left|2x-2\right|\ge\left|3-2x+2x-2\right|=\left|1\right|=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(ab\ge0\)

=> \(\left(3-2x\right)\left(2x-2\right)\ge0\)

Xét hai trường hợp :

1. \(\hept{\begin{cases}3-2x\ge0\\2x-2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2x\ge-3\\2x\ge2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le\frac{3}{2}\\x\ge1\end{cases}}\Leftrightarrow1\le x\le\frac{3}{2}\)

2. \(\hept{\begin{cases}3-2x\le0\\2x-2\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2x\le-3\\2x\le2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{3}{2}\\x\le1\end{cases}}\)( loại )

=> MinP = 1 <=> \(1\le x\le\frac{3}{2}\)

a) P=\(\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{4x^2-12x+9}=\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}\)

=\(\left|2x-1\right|+\left|2x-3\right|\)

=\(\left|2x-1\right|+\left|3-2x\right|\ge\left|2x-1+3-2x\right|=\left|2\right|=2\)

<=> \(P\ge2\)

Dấu "=" xảy ra <=> (2x-1)(3-2x)\(\ge0\)

<=> \(\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{2}\)

Vậy min P=2 <=>\(\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{2}\)

b)Tương tự ý a

\(\sqrt{1+4x+4x^2}+\sqrt{4x^2-12x+9}\)

\(=\sqrt{\left(1+2x\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}\)

\(=\left|1+2x\right|+\left|2x-3\right|\)

\(=\left|1+2x\right|+\left|3-2x\right|\)

Áp dụng BĐT  : \(\left|A\right|+\left|B\right|\ge\left|A+B\right|\) ta có :

\(\left|1+2x\right|+\left|3-2x\right|\ge\left|1+2x+3-2x\right|=4\)

Vậy GTNN của biểu thức trên là : 4 khi \(-\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{2}\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(\sqrt{1+4x+4x^2}+\sqrt{4x^2-12x+9}\)

\(=\sqrt{\left(1+2x\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}\)

\(=\left|1+2x\right|+\left|2x-3\right|\)

\(=\left|1+2x\right|+\left|3-2x\right|\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)ta có :

\(\left|1+2x\right|+\left|3-2x\right|\ge\left|1+2x+3-2x\right|=\left|4\right|=4\)

Đẳng thức xảy ra khi \(ab\ge0\)

=> \(\left(1+2x\right)\left(3-2x\right)\ge0\)

Xét hai trường hợp :

1. \(\hept{\begin{cases}1+2x\ge0\\3-2x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x\ge-1\\-2x\ge-3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-\frac{1}{2}\\x\le\frac{3}{2}\end{cases}}\Rightarrow-\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{2}\)

2. \(\hept{\begin{cases}1+2x\le0\\3-2x\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x\le-1\\-2x\le-3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le-\frac{1}{2}\\x\ge\frac{3}{2}\end{cases}}\)(loại)

Vậy GTNN của biểu thức = 4 <=> \(-\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{2}\)