AIB = HBC (2 góc đồng vị, AI // BH)

mà ABH = HBC (BH là tia phân giác của ABC)

=> AIB = ABH

mà ABH = BAI (2 góc so le trong, AI // BH)

=> AIB = BAI

=> Tam giác BAI cân tại B

mà BJ là tia phân giác của ABI của tam giác BAI cân tại B

=> BJ là đường cao của tam giác BAI

=> BJ _I_ AI

a) Ta có AI // BH => ^AIB = ^HBC và ^BAI = ^ABH (so le trong).

Mà ^HBC = ^ABH (BH là tia phân giác ^ABC) => ^AIB = ^BAI.

b) Bạn xét hai tam giác ABJ và IBJ.

(Nếu chưa học tam giác bằng nhau thì chứng minh như sau:

Ta thấy BJ và BH là tia phân giác của hai góc kề bù nên ^JBH = 90 độ.

Do AI // BH nên ^BJI = ^JBH = 90 độ => BJ vuông góc với AI.)

                  Cũng có thể giải cách này bạn :                    

a) Vì AI // BH => cặp góc so le trong bằng nhau

          hay \(\widehat{A1}\) = \(\widehat{B2}\)

          mà \(B2\) = \(\widehat{B1}\) ( BH là tia phân giác)

    Vì AI // BH => cặp góc đồng vị bằng nhau

          hay \(\widehat{B1}\) = \(\widehat{I1}\) 

          =>    \(\widehat{A1}\)= \(\widehat{I1}\)

b) Vì BH là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) 

          => \(\widehat{B2}\) = \(\widehat{B1}\) = \(\frac{\widehat{ABC}}{2}\)

   Vì BJ là tia phân giác của \(\widehat{ABI}\) 

          => \(\widehat{B3}\) =  \(\widehat{B4}\)  = \(\frac{\widehat{ABI}}{2}\)

          => \(\widehat{B2}\) + \(\widehat{B3}\) = \(\frac{\widehat{ABC}}{2}\) + \(\frac{\widehat{ABI}}{2}\)

          => \(\widehat{B2}\) + \(\widehat{B3}\) = \(\frac{\widehat{ABC+}\widehat{ABI}}{2}\)

          => \(\widehat{B2}\) + \(\widehat{B3}\) \(\frac{180^0}{2}\) = \(90^0\) ( Vì \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{ABI}\) là 2 góc kề bù)

               hay \(\widehat{HBJ}\) = \(90^0\) 

               Vậy BJ vuông góc BH

                      BH // AI ( gt)

                      BJ vg BH

                   => BJ vg AI

cứt

Anh không vẽ hình vì sợ duyệt. Với lại anh sẽ chia bài này thành 4 câu trả lời cho 4 câu a,b,c,d để rút ngắn lại. Dài quá cũng sợ duyệt.

a) \(\Delta ABC\)vuông tại A (gt) \(\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)(tình chất tam giác vuông)\(\Rightarrow\widehat{C}=90^0-\widehat{B}\)

Vì \(\widehat{B}=60^0\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{C}=90^0-60^0=30^0\)

b) Vì H là trung điểm của AK (gt) \(\Rightarrow HA=HK\)và H nằm giữa A và K

Xét \(\Delta ABH\)và \(\Delta KBH\), ta có:

\(AB=BK\left(gt\right);HA=HK\left(cmt\right);\)BH là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta KBH\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{KHB}\)(2 góc tương ứng)

Mặt khác vì H nằm giữa A và K (cmt) \(\Rightarrow\widehat{AHB}+\widehat{KHB}=180^0\)\(\Rightarrow2\widehat{AHB}=180^0\)\(\Rightarrow\widehat{AHB}=90^0\)

\(\Rightarrow AK\perp BI\)tại H

c) Ta có \(\Delta ABH=\Delta KBH\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{KBH}\)

Do B,H,I thẳng hàng nên \(\widehat{ABI}=\widehat{KBI}\)

Xét \(\Delta ABI\)và \(\Delta KBI\)có: 

\(AB=BK\left(gt\right);\widehat{ABI}=\widehat{KBI}\left(cmt\right);\)BI chung

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta KBI\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AI=KI\)(2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta AKI\)cân tại I \(\Rightarrow\widehat{AKI}=\widehat{IAK}\)

Mặt khác vì DK//AI (gt) \(\Rightarrow\widehat{DKA}=\widehat{IAK}\)(2 góc so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{AKI}=\widehat{DKA}\left(=\widehat{IAK}\right)\)\(\Rightarrow\)KA là tia phân giác của \(\widehat{IKD}\)