https://olm.vn/hoi-dap/detail/4762440095.html

Ta có: p4 – q4 = (p4 – 1 ) – (q4 – 1) ; 240 = 8 .2.3.5

Chứng minh p4 – 1   240

- Do p >5 nên p là số lẻ                                                                              

+ Mặt khác: p4 –1  = (p –1) (p + 1) (p2 +1)                                                 

--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp  => (p – 1) (p+1)  8                   

+ Do p là số lẻ nên p2  là số lẻ ->  p2 +1  2                                                 

- p > 5 nên p có dạng:

   + p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1  = 3k   3  --> p4 – 1  3 

   + p = 3k + 2 -->  p + 1  = 3k + 2 + 1  = 3k +3  3  -->  p4 – 1  3             

- Mặt khác, p có thể là dạng:

+ P =  5k +1 --> p – 1  = 5k + 1 – 1  = 5k    5   --> p4 – 1    5

+ p = 5 k+ 2 --> p2 + 1 = (5k +2)2  +1  = 25k2  + 20k +5  5 --> p4 – 1  5  

+ p = 5k +3 --> p2 +1 = 25k2 + 30k +10 --> p4 –1  5

+ p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5  5 --> p4 – 1  5                                            

Vậy p4 – 1  8 . 2. 3 . 5 hay p4 – 1  240

Tương tự ta cũng có q4 – 1  240                                                                   

Vậy: (p4 – 1) – (q4 –1)  = p4 – q4    240

chúc bạn học tốt :)

Số nguyên tố lớn hơn 5 có dạng 3k + 1 hoặc 3 k + 2.

Thay từng trường hợp vào thì chứng minh được.

**** thì anh kết bạn với chú !

mjnh viết nhầm q⁴ nha 

Vì p là số nguyên tố và lớn hơn 5 nên p lẻ 

Khi đó : 

Dễ thấy,  chia hết cho 2 và có một số chia hết cho 4.

Nên 

Lại có \(p^4-q^4\)

\(=\left(p^4-1\right)-\left(q^4-1\right)\\ =\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)-\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(q^2+1\right)\)

Vì p nguyên tố và lớn hơn 5 nên \(p⋮̸3\)

Mà \(\left(p-1\right)p\left(p+1\right)⋮3\)

Lại có : 

\(=\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)+5\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮5\)

Nên \(p^4-1⋮15\)

Tương tự 

Nên \(p^4-q^4⋮15\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow p^4-q^4⋮240\)

ta có

p^4-q^4=(p^4-1)+(q^4-1)

xét hiệu:p^4-1=(p^2)^2-1^4

                    =(p^2-1)(p^2+1)=(p+1)(p-1)(p^2+1)              (*)

Ta thấy p+1 và p-1 là hai số chãn liên tiếp=>(p+1)(p-1)chia hết cho 8.Đặt (p+1)(p-1)=8n

Mặt khác p^2+1 là số chẵn.Dặt p^2+1=2k

thay vào (*) ta có p^4-1=2k8n=16knchia hết cho 16            (1)

mặt khác vì p là số nguyên tố lớn hơn 5=>p^4 chia cho 3 dư 1=>p^4-1 chia hết cho 3          (2)

mặt khascvif p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên khi p chia cho 5 sẽ nhận được các số dư là 1,2,3,4

Với p=5m+1=>p-1 chia hết cho 5

Với p=5m+2=>p^4 chia cho 5 dư 1=>p^4-1 chia hết cho 5

Với p=5m+3=>p^4 chia cho 5 dư 1=>p^4-1 chia hết cho 5

Với p=5m+4=>p^4chia cho 5 dư 1=>p^4-1 chia hết cho 5

Tóm lại qua mỗi trường hợp thì p^4-1 đều chia hết cho 5              (3)

Từ (1),(2)và(3)=>p^4-1 chia hết cho 16.3.5=240

chứng minh tương tự với q^4-1=>q^4-1 chia hết cho 240

=>p^4-q^4 chia hết cho 240

Mình chẳng gì ngoài T/H2:p^4-q^4=(p^4+1)-(q^4+1)

Còn cách chứng minh như trên

Mình chưa chắc đâu,lỡ sai đừng trách mình!

                                                                                                                               Buồn!hu...hu..!

MGUOI NAO GIAI MA CHA HIEU GI CA HU DO NGU

Bạn xem bài này nhé!

http://olm.vn/hoi-dap/question/60049.html

Rút được ra là:

p⁴-1 chia hết cho 240 với mọi số nguyên tố p>5

Đoạn p,q là p mũ 4 và q mũ 4 nha
 

em mớ lớp 5 nên không biết

a)Xét p=2

=>p+10 = 12 (loại0

p=3 =>p+10 và p+14 đều là số nguyên tố.nếu p>3 =>p=3k+1 , p=3k+2

TH1:p = 3k+1 =>p+14=3k+1+14=3k+15(loại)

TH2:p=3k+2=>p+10=3k+2+10=3k+12(loại)

=>p=3

Ta có: p⁴ – q⁴ = (p⁴ – 1 ) – (q⁴ – 1) ; 240 = 8 .2.3.5

Chứng minh p⁴ – 1   240

- Do p >5 nên p là số lẻ                                                                              

+ Mặt khác: p⁴ –1  = (p –1) (p + 1) (p² +1)                                                 

--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp  => (p – 1) (p+1)  8                   

+ Do p là số lẻ nên p²  là số lẻ ->  p² +1  2                                                 

- p > 5 nên p có dạng:

   + p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1  = 3k   3  --> p⁴ – 1  3 

   + p = 3k + 2 -->  p + 1  = 3k + 2 + 1  = 3k +3  3  -->  p⁴ – 1  3             

- Mặt khác, p có thể là dạng:

+ P =  5k +1 --> p – 1  = 5k + 1 – 1  = 5k    5   --> p⁴ – 1    5

+ p = 5 k+ 2 --> p² + 1 = (5k +2)²  +1  = 25k²  + 20k +5  5 --> p⁴ – 1  5  

+ p = 5k +3 --> p² +1 = 25k² + 30k +10 --> p⁴ –1  5

+ p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5  5 --> p⁴ – 1  5                                            

Vậy p⁴ – 1  8 . 2. 3 . 5 hay p⁴ – 1  240

Tương tự ta cũng có q⁴ – 1  240                                                                   

Vậy: (p⁴ – 1) – (q⁴ –1)  = p⁴ – q⁴    240

Xét p,q có dạng 2k + 1 hoặc 5k + 1 (k là số tự nhiên)

Ta có: p⁴ – q⁴ = (p⁴ – 1 ) – (q⁴ – 1) ; 240 = 8 .2.3.5

Chứng minh p⁴ – 1   240

- Do p >5 nên p là số lẻ                                                                              

+ Mặt khác: p⁴ –1  = (p –1) (p + 1) (p² +1)                                                 

--> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp  => (p – 1) (p+1)  8                   

+ Do p là số lẻ nên p²  là số lẻ ->  p² +1  2                                                 

- p > 5 nên p có dạng:

   + p = 3k +1 --> p – 1 = 3k + 1 – 1  = 3k   3  --> p⁴ – 1  3 

   + p = 3k + 2 -->  p + 1  = 3k + 2 + 1  = 3k +3  3  -->  p⁴ – 1  3             

- Mặt khác, p có thể là dạng:

+ P =  5k +1 --> p – 1  = 5k + 1 – 1  = 5k    5   --> p⁴ – 1    5

+ p = 5 k+ 2 --> p² + 1 = (5k +2)²  +1  = 25k²  + 20k +5  5 --> p⁴ – 1  5  

+ p = 5k +3 --> p² +1 = 25k² + 30k +10 --> p⁴ –1  5

+ p = 5k +4 --> p + 1 = 5k +5  5 --> p⁴ – 1  5                                            

Vậy p⁴ – 1  8 . 2. 3 . 5 hay p⁴ – 1  240

Tương tự ta cũng có q⁴ – 1  240                                                                   

Vậy: (p⁴ – 1) – (q⁴ –1)  = p⁴ – q⁴    240