Gọi a, a + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp ($a\in N$) 

Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể có các số dư là : 0,1,2

Xét 3 trường hợp : 

• Nếu a = 3k $\left(kinN\right)$ thì a(a + 1) $⋮3$

• Nếu a = 3k - 1 thì a(a + 1) = 3k(3k - 1) chia hết cho 3 

• Nếu a = 3k + 1 thì a(a + 1) = (3k + 1)(3k + 2) chia 3 dư 2 

Như vậy ta thấy tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia 3 dư 0 hoặc 2. 

Xét : M =2(9^2009+9^2008+...+9+1)=2(3h+1)(h thuộc  N)

$\to M$ chia 3 dư 2  là tích 2 số tự nhiên liên tiếp

Mình ko chắc lắm đâu,thông cảm nha

huhu làm cho mình đi

A/2 = 1+9+9^2+....+9^2009

9/2A = 9+9^2+9^3+....+9^2010

4A=9/2A-A/2= (9+9^2+9^2+....+9^2010) - (1+9+9^2+....+9^2009) = 9^2010 - 1 = (9^1005-1).(9^1005+1)

=> A = (9^1005-1)/2 . (9^1005+1)/2

Ta thấy 9^1005-1 và 9^1005+1 là 2 số chẵn liên tiếp nên (9^1005-1)/2 và (9^1005+1)/2 là 2 số tự nhiên liên tiếp

=> ĐPCM

k mk nha

cục xì lầu ông bê lắp

1) Ta có: 3n²+3n

= 3(n²+n) \(⋮\) 3

Vì n là STN nên:

TH1: n là số tự nhiên lẻ.

\(\Rightarrow\)n² sẽ lẻ \(\Rightarrow\) n²+n bằng lẻ cộng lẻ và bằng chẵn \(\Rightarrow\) n²+n \(⋮\) 2 \(\Rightarrow\) 3(n²+n) \(⋮\) 2

\(\Rightarrow\) 3n²+3n \(⋮\) 2

Vì 3n²+3n chia hết cho 3 và cũng chia hết cho 2 nên số đó chia hết cho 6.

TH2: n là số tự nhiên chẵn.

\(\Rightarrow\) n² sẽ chẵn \(\Rightarrow\) n²+n bằng chẵn cộng chẵn bằng chẵn \(\Rightarrow\) n²+n \(⋮\) 2\(\Rightarrow\)

3(n²+n) \(⋮\) 2\(\Leftrightarrow\) 3n²+3n \(⋮\) 2

Vì 3n²+3n chia hết cho 3 và chia hết cho 2 nên số đó chia hết cho 6.

Vậy với mọi trường hợp số tự nhiên thì 2n²+3n đều chia hết cho 6. Vậy với mọi n là số tự nhiên thì 2n²+3n sẽ chia hết cho 6 (đpcm)

3)

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là k; k+1; k+2; k+3; k+4

\Rightarrow