Tìm các số nguyên dương x1 , x2 ,....,xn sao cho:
\(1-\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{.....+\frac{1}{n}}}}\)
= \(\frac{1}{4+\frac{1}{x_1+\frac{1}{x_2+.....+\frac{1}{x_n}}}}\)
\(1-\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{.....+\frac{1}{n}}}}\) = \(\frac{1}{4+\frac{1}{x1+\frac{1}{x2+.....+\frac{1}{xn}}}}\)
Tìm các số nguyên dương x1 , x2,.... xn .(lươu ý x1 , x2 , ...., xn là thứ tự các số hạng )
Cho các số thực dương x1, x2, ..., xn. Chứng minh rằng
\(\frac{\sqrt{x_1^2-1}}{x_2}+\frac{\sqrt{x_2^2-1}}{x_3}+...+\frac{\sqrt{n_{n-1}^2-1}}{x_n}+\frac{\sqrt{x_n^2-1}}{x_1}\le\frac{n\sqrt{2}}{2}\)
\(1-\frac{1}{2+\frac{1}{3+....+\frac{1}{n}}}\) = \(\frac{1}{4+\frac{1}{x1+\frac{1}{x2+.....+\frac{1}{xn}}}}\)
Tìm các số nguyên dương x1 ,x2 ,x3 ,...,xn
cho các số thực dương x1>(=)x2>(=)x3>(=)...>(=)xn
chứng minh rằng:
\(\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{x_2+x_3}{2}+...+\frac{x_n+x_1}{2}\le\frac{x_1+x_2+x_3}{3}+\frac{x_2+x_3+x_4}{3}+...+\frac{x_n+x_1+x_2}{3}\)
Nhìn nó tưởng khủng hóa ra đơn giản lắm :D
Sẵn mẫu = 2 ở Vế trái, ta cộng luôn các Tử: Các hạng tử x1; x2; ...; xn xuất hiện 2 lần nên tổng VT = x1 + x2 + ... + xn
Sẵn mẫu = 3 ở Vế ơhair, ta cộng luôn các Tử: Các hạng tử x1; x2; ...; xn xuất hiện 3 lần nên tổng VP = x1 + x2 + ... + xn
=> VT = VP. đpcm
Lão Linh mới xét đến điều kiện dấu "=" xảy ra
Thế còn điều kiện "<" vứt đâu?
nếu nó mà dễ thế thì mình đã ko hỏi rồi,linh à
cho các số thực dương x1>(=)x2>(=)x3>(=)...>(=)xn
chứng minh rằng:
\(\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{x_2+x_3}{2}+...+\frac{x_n+x_1}{2}\le\frac{x_1+x_2+x_3}{3}+\frac{x_2+x_3+x_4}{3}+...+\frac{x_n+x_1+x_2}{3}\)
Câu hỏi của Nguyễn Thiều Công Thành - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Cho dãy số ( xn) xác định bởi \(x_1=\frac{1}{2},x_{n+1}=x_n^2+x_n,\forall n\ge1.\)Đặt \(S_n=\frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+...+\frac{1}{x_n+1}.\)Tìm lim Sn
Từ công thức truy hồi ta có:
\(x_{n+1}>x_n,\forall n=1,2...\)
\(\Rightarrow\)dãy số \(\left(x_n\right)\) là dãy số tăng
giả sử dãy số \(\left(x_n\right)\) là dãy bị chặn trên \(\Rightarrow limx_n=x\)
Với x là nghiệm của pt ta có: \(x=x^2+x\Leftrightarrow x=0< x_1\) (vô lý)
=> dãy số \(\left(x_n\right)\) không bị chặn hay \(limx_n=+\infty\)
Mặt khác: \(\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{x_n\left(x_n+1\right)}=\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_n+1}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x_n+1}=\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_n+1}\)
\(\Rightarrow S_n=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{n+1}}=2-\frac{1}{x_{n+1}}\)
\(\Rightarrow limS_n=2-lim\frac{1}{x_{n+1}}=2\)
Tìm các số \(x_1,x_2,...,x_{n-1},x_n\), biết rằng:
\(\frac{x_1}{a_1}=\frac{x_2}{a_2}=\frac{x_3}{a_3}=....=\frac{x_{n-1}}{a_{n-1}}=\frac{x_n}{a_n}\)và \(x_1+x_2+x_3+...+x_n=c\)
\(\left(a_1\ne0,a_2\ne0,....,a_n\ne0,a_1+a_2+....+a_n\ne0\right)\)
Ta có:
\(\frac{x_1}{a_1}=\frac{x_2}{a_2}=...=\frac{x_n}{a_n}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{a_1+a_2+...+a_n}_n=\frac{c}{a_1+a_2+...+a_n}\)
\(\Rightarrow x_1=\frac{a_1.c}{a_1+a_2+...+a_n}\) các x còn lại tương tự
Chứng minh rằng với các số thực dương \(x_1,x_2,...,x_n\)ta có:
\(\frac{x_1}{x_2+x_n}+\frac{x_2}{x_3+x_1}+\frac{x_3}{x_2+x_4}+...+\frac{x_n}{x_{n-1}+x_1}\ge2,\forall n\ge4\).
P/s: chứng minh bằng quy nạp
Với \(n=4\) bđt \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_1}{x_4+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+\frac{x_3}{x_2+x_4}+\frac{x_4}{x_3+x_1}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_1^2}{x_4x_1+x_1x_2}+\frac{x_2^2}{x_1x_2+x_2x_3}+\frac{x_3^2}{x_2x_3+x_3x_4}+\frac{x_4^2}{x_3x_4+x_4x_1}\ge2\) (1)
\(VT_{\left(1\right)}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)^2}{2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1\right)}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)^2}{2.\frac{\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)^2}{4}}=2\)
Giả sử bđt đúng đến n=k hay \(\frac{x_1}{x_k+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+...+\frac{x_{k-1}}{x_{k-2}+x_k}+\frac{x_k}{x_{k-1}+x_1}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_2}{x_1+x_3}+...+\frac{x_{k-1}}{x_{k-2}+x_k}\ge2-\frac{x_1}{x_k+x_2}-\frac{x_k}{x_{k-1}+x_1}\)
Với n=k+1, cần cm \(\frac{x_1}{x_{k+1}+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+...+\frac{x_{k-1}}{x_{k-2}+x_k}+\frac{x_k}{x_{k-1}+x_{k+1}}+\frac{x_{k+1}}{x_k+x_1}\ge2\)
hay \(\frac{x_1}{x_{k+1}+x_2}-\frac{x_1}{x_k+x_2}+\frac{x_k}{x_{k-1}+x_{k+1}}-\frac{x_k}{x_{k-1}+x_1}+\frac{x_{k+1}}{x_k+x_1}\ge0\) (2)
giả sử \(x_k=max\left\{a_1;a_2;...;a_{k+1}\right\}\)
\(VT_{\left(2\right)}=\frac{x_1\left(x_k-x_{k+1}\right)}{\left(x_k+x_2\right)\left(x_{k+1}+x_2\right)}+\frac{x_k\left(x_1-x_{k+1}\right)}{\left(x_{k-1}+x_1\right)\left(x_{k-1}+x_{k+1}\right)}+\frac{x_{k+1}}{x_k+x_1}>0\)
nhầm, chỗ giả sử là \(x_{k+1}=min\left\{x_1;x_2;...;x_{k+1}\right\}\)
Cho \(x_i\in\left[1;\sqrt{2}\right]\)
Chứng minh: \(\frac{\sqrt{x_1^2}-1}{x_2}+\frac{\sqrt{x_2^2}-1}{x_3}+...+\frac{\sqrt{x_n^2}-1}{x_1}\le\frac{n\sqrt{2}}{2}\)
Chắc bạn đánh nhầm đề. Đây là bài 7 trong báo TTT tháng trước. (Nếu mình sửa sai thì mình xin lỗi nhé).
Sửa đề: Cho \(n\in\mathbb{N},n\geq 2\) và \(x_i\in[1;\sqrt{2}] \forall i\in\overline{1,n}\).
Chứng minh: \(\dfrac{\sqrt{x_1^2-1}}{x_2}+\dfrac{\sqrt{x_2^2-1}}{x_3}+...+\dfrac{\sqrt{x_n^2-1}}{x_1}\le\dfrac{n\sqrt{2}}{2}\).
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(\dfrac{\sqrt{x_1^2-1}}{x_2}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2.\sqrt{x_1^2-1}.\dfrac{\sqrt{2}}{x_2}\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.\left(x_1^2-1+\dfrac{2}{x_2^2}\right)\).
Chứng minh tương tự...
Do đó \(VT\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(x_1^2+x_2^2++...+x_n^2+\dfrac{2}{x_1^2}+\dfrac{2}{x_2^2}+...+\dfrac{2}{x_n^2}-n\right)\).
Mặt khác với mọi \(i\in\overline{1,n}\) ta có:
\(x_i^2+\dfrac{2}{x_i^2}-3=\dfrac{\left(x_i^2-1\right)\left(x_i^2-2\right)}{x_i^2}\le0\).
Do đó \(VT\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(x_1^2+x_2^2++...+x_n^2+\dfrac{2}{x_1^2}+\dfrac{2}{x_2^2}+...+\dfrac{2}{x_n^2}-n\right)\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(3n-n\right)=\dfrac{n\sqrt{2}}{2}=VP\left(đpcm\right)\).