\(2\left(a+b+c\right)=a^2+b^2+c^2+3\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

sai đề r`

nhầm

1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\)  (1) 

áp dụng (x² +y² +z²)(m²+n²+p²) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)

(2a²bc +b²c² + 2b²ac+a²c² + 2c²ab+a²b²). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\)   <=> (ab+bc+ca)². VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\)  ( vậy (1) đúng)

dấu '=' khi a=b=c

4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)

\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)

4c, 

\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}=a+b+c-\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}+3--\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}\)\(\ge6-2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=3\)

a.d = b.c ⇒ \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{2a}{2c}=\dfrac{5b}{5d}\) = \(\dfrac{3a}{3c}=\dfrac{2b}{2d}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{2a}{2c}=\dfrac{5b}{5d}=\dfrac{2a+5b}{2c+5d}\) (1)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{3a}{3c}=\dfrac{2b}{2d}=\dfrac{3a-2b}{2c-2d}\) (2)

Từ (1) và(2) ta có:

\(\dfrac{2a+5b}{2c+5d}\) =  \(\dfrac{3a-2b}{3c-2d}\)(đpcm)

a.d = b.c ⇒ \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)  ⇒ \(\dfrac{a.b}{c.d}\) = \(\dfrac{a^2}{c^2}\) = \(\dfrac{b^2}{d^2}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a.b}{c.d}=\dfrac{a^2}{c^2}\) = \(\dfrac{b^2}{d^2}\) = \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\) (đpcm)

1) a² +b² +c²>= ab +bc +ca <=> 2a² +2b² +2c² >=2ab +2bc +2ca <=> 2a² +2b² +2c² -2ab -2bc -2ca >= 0

<=> (a -b)² +(b -c)² + (c -a)² >= 0 (bđt đúng với mọi a, b, c)

2) Áp dụng bđt Cauchy với a, b, c > 0 ta có :

\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{bc.ab}{ac}}=2b\)

tương tự : \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\); \(\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}\ge2c\)

Cộng từng vế 3 bđt trên suy ra đpcm

3) Từ gt a a +b =c => a +b -c =0 => (a +b -c)² = 0 => a² +b² +c² +2ab -2bc -2ca = 0

=> a² +b² +c² = 2bc + 2ca -2ab => (a² +b² +c²)² = (2bc +2ca -2ab)² 

=> a⁴ +b⁴ +c⁴ +2a²b² +2b²c² +2c²a² = 4b²c² +4c²a² +4a²b² +4abc²-4a²bc - 4ab²c

=> a⁴ +b⁴ +c⁴ -2a²b² -2b²c² -2c²a² = 4abc(c -a -b) = 4abc.0 =0

Vậy a⁴ +b⁴ +c⁴ = 2a²b² +2b²c² +2c²a²

Mọi người giúp  mình bài nay với. Mai mình nộp bài mà mình lại học toán hơi kém tí.  Thanhks trước. 

Bài 1: cho a, b, c thuộc  R.

Chứng minh a² + b² + c²  >=  ab+ac+bc

Bài 2:cho a, b, c >0.

 Chứng minh (bc/a)+(ac/b)+(ab/c)>= a+b+c

Bài 3: cho a, b, c thoả mãn a+b=c.  

Chứng  minh  a⁴  +b⁴ +c⁴  =2a²b² +2b²c² + 2a²c²

\(-\left(a-c\right)-\left(a-b+c\right)+\left(-d+c\right)\)

\(=-a-c-a+b-c-d+c\)

\(=-2a-c+b-d\)