Ta co:

\(x^2+y^2+\frac{2}{xy}\ge2xy+\frac{2}{xy}=2\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\ge4\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=1\)hoac \(x=y=-1\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:

\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)(Vì x,y cùng dấu)

và \(xy+\frac{1}{xy}\ge2\sqrt{\frac{xy}{xy}}=2\)(Vì x,y cùng dấu)

\(\Rightarrow x^2+y^2+\frac{2}{xy}\ge2xy+\frac{2}{xy}=2\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\ge4\)(Vì \(xy+\frac{1}{xy}\ge2\left(cmt\right)\))

Vậy GTNN của \(x^2+y^2+\frac{2}{xy}\)là 4\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=1\\x=y=-1\end{cases}}\)

A-2=\(\left(\sqrt{x-y}-\sqrt{\frac{2}{x-y}}\right)^2+2\sqrt{2}\)

A>=2\(\left(1+\sqrt{2}\right)\)

dang thuc xay ra khi

x-y=\(\sqrt{2}\)

chua hieu nhan tin 

lon.

bo (A-2)

A>=2\(\sqrt{2}\)

\(B=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}.\)

Áp dụng BDDT Cô-si ta có:

\(B\ge2\sqrt{\left(\frac{x^2+y^2}{xy}\right)\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)}=2\sqrt{1}=2\)

Dấu = xảy ra khi x=y=...

Vậy Min B=2 khi x=y=...

Sai ở đâu vậy?

Ở chỗ giá trị x,y phải ko

Tính lại thì ko có giá trị nào của x,y để Mib B=2 cả :')

Sorry

@AZM: Thật không may dấu "=" không xảy ra bạn nhé :))

Ta có:\(S=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)

Đặt \(a=\frac{x^2+y^2}{xy}\ge\frac{2\sqrt{x^2y^2}}{xy}=2\)

Khi đó:\(S=a+\frac{1}{a}=\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{a}\right)+\frac{3a}{4}\ge2\sqrt{\frac{a}{4}\cdot\frac{1}{a}}+\frac{3\cdot2}{4}=\frac{5}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y

Bài làm:

Ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\ge2\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2\right)}{xy}.\frac{xy}{\left(x^2+y^2\right)}}=2.1=2\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y\)

Vậy GTNN biểu thức là 2 khi \(x=y\)

Học tốt!!!!

Dạ đây là bất đẳng thức Cô-si ạ, bạn có thể chứng minh bằng cách sau:

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\left(\forall xy\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+4xy\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)^2}\ge\sqrt{4xy}\)

\(\Leftrightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)

Bạn áp dụng bất đẳng thức trên vào bài làm là được ạ!