\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\rightarrow ad< bc\)

\(\rightarrow ad+ab< bc+ab\)

\(\rightarrow a.\left(b+d\right)< b.\left(a+c\right)\)

\(\rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)     \(\left(1\right)\)

\(\text{Ta có:}\)

\(ad< bc\)

\(\rightarrow ad+cd< bc+cd\)

\(\rightarrow d.\left(a+c\right)< c.(b+d)\)

\(\rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)     \(\left(2\right)\)

\(\text{Từ}\)\(\left(1\right)\)\(\text{và}\)\(\left(2\right)\)\(\rightarrow\)\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

Ta có : \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)

\(\Rightarrow ab+ad< ab+bc\)

\(\Rightarrow a.\left(b+d\right)< b.\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(1\right)\)

Ta lại có : \(ad< bc\Rightarrow ad+cd< bc+cd\)

\(\Rightarrow d.\left(a+c\right)< c.\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2), suy ra nếu :\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)

thì : \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

\(\frac{a}{b}

Ta có a/b < c/d => ad< bc     => ad + ab < bc + ab ( cộng hai vế với ab )

<=> a(b + d ) < b( a + c )

<=> a/b < a + c/ b+ d ( 1)

Mặt khác ad < bc => ad + cd < bc + cd ( cộng hai vế với cd )

<=> d(a + c ) < c( b + d ) <=> a + c/ b + d < c/d ( 2)

Từ (1) và (2) suy ra a/b < a + c / b + d < c/d