Câu hỏi của Nguyễn Tuấn Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Ta có:\(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a\left(a+1\right)}{ab}+\frac{b\left(b+1\right)}{ab}\)

\(=\frac{a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)}{ab}=\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}\) là số tự nhiên nên \(\left(a^2+b^2+a+b\right)\) chia hết cho \(ab\)

Vì \(UCLN\left(a,b\right)=d\Rightarrow\)\(a\) chia hết cho \(d\) ; \(b\) chia hết cho \(d\)

\(\Rightarrow ab\) chia hết cho \(d^2\) và \(a^2\) chia hết cho \(d^2\) ; \(b^2\) chia hết cho \(d^2\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\) chia hết cho \(d^2\)

Do đó:\(a^2+b^2+a+b\) chia hết cho \(d^2\)

        \(a^2+b^2\) chia hết cho \(d^2\)

\(\Rightarrow a+b\) chia hết cho \(d^2\)

\(\Rightarrow a+b\ge d^2\left(đpcm\right)\)

Bài này có bạn hỏi rồi. Em vào câu hỏi tương tự !

Lời giải bài này chính sắc là của @ALI 

Tuy nhiên lời giải này chưa thực sự hoàn hảo. trải qua đến f(n!) rồi vẫn thấy thế

Câu hỏi của Nguyễn Tuấn Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Đặt \(X=\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}\)

Vì X là số tự nhiên => \(a^2+b^2+a+b⋮ab\)

Vì d=UCLN(a,b) => \(a⋮d\) và \(b⋮d\)=> \(ab⋮d^2\)

=> \(a^2+b^2+a+b⋮d^2\)

Lại vì  \(a⋮d\) và  \(b⋮d\) => \(a^2⋮d^2\) và \(b^2⋮d^2\) => \(a^2+b^2⋮d^2\)

=> \(a+b⋮d^2\)

=> \(a+b\ge d^2\) (đpcm)

trả lời đi với

Tính chất tỉ số: 
Cho x, y, z > 0; x/y < 1 ta có: x / y < (x+z) / (y+z) (*) 
cm: 
(*) <=> x(y+z) < y(x+z) <=> xy+xz < yx+yz <=> xz < yz <=> x < y đúng do gt x < y 
- - - - - 
với các số a, b, c ta có: a < a+b ; b < b+c ; c < c+a 
=> a/(a+b) < 1 ; b/(b+c) < 1 ; c/(c+a) < 1; ad (*) ta có: 

A = a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < (a+c)/(a+b+c) + (b+a)/(b+c+a) + (c+b)/(c+a+b) 

=> A < 2(a+b+c)/(a+b+c) = 2 

mặt khác ta có: 
A = a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) > a/(a+b+c) + b/(b+c+a) + c/(c+a+b) 
=> A > (a+b+c)/(a+b+c) = 1 

Tóm lại ta có: 1 < A < 2 => A không là số tự nhiên

        Chúc bạn học giỏi

trọn hết giây cuối cùng, hưởng thụ trước khi chết

mik sẽ vặn ngược kim đồng hồ trở lại trc công nguyên