- Dựng phân giác AD của góc A . Sau đó dựng BB' và CC' vuông góc với AD 

- Đặt BB' = x , CC' = y . Ta có :

+) \(\Delta ABB'\)cân tại A \(sin\frac{A}{2}=\frac{x}{2c}\)

+) \(\Delta ACC'\)cân tại A \(sin\frac{A}{2}=\frac{y}{2b}\)

\(\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}=\frac{xy}{4bc}\)

Để cm(1) , ta cần cm : \(xy\le a^2\)

+) Trong tam giác BHD vuông tại H ta có : \(BH\le CD\)hay \(\frac{x}{2}\le BD\)

+) Trong tam giác CKD vuông tại K ta có : \(CK\le CH\)hay \(\frac{y}{2}\le CD\)

\(\Rightarrow a=BD+CD\ge\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow a^2\ge xy\left(đpcm\right)\)

Kẻ phân giác AD của tam giác ABC (D nằm trên đoạn BC)

Từ B,C kẻ các đường vuông góc với đường thẳng AD tại E,F

Khi đó ta có: \(\sin\widehat{BAE}=\frac{BE}{AB}=\frac{BE}{c}\) ; \(\sin\widehat{FAC}=\frac{CF}{AC}=\frac{CF}{b}\)

Mà \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}=\sin\widehat{BAE}=\sin\widehat{FAC}=\frac{BE}{c}=\frac{CF}{b}=\frac{BE+CF}{b+c}\)

Ta thấy \(\hept{\begin{cases}BE\le BD\\CF\le CD\end{cases}}\Rightarrow BE+CF\le BD+CD=BC\)

Lại có theo bất đẳng thức Cauchy: \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(\Rightarrow\sin\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{BE+CF}{b+c}\le\frac{BC}{2\sqrt{bc}}=\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC cân tại A

Từ A vẽ AD _|_ BC ,AG là trung tuyến cắt BC tại E\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}AD\le AE\Rightarrow\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{AE}\\1.2GE=BC\left(do\Delta BGCvuongcoElatrungdiem\right)\end{cases}}\)

cotB=\(\frac{BD}{AD}\)cotC=\(\frac{CD}{AD}\)\(\Rightarrow\)2.cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\)

3.G là trực tâm nên 3GE=AE\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{3GE}\)

từ 1, 2 và 3 \(\Rightarrow\)cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\ge\frac{2GE}{3GE}=\frac{2}{3}\)

\(\cot B+\cot C=\frac{BD}{AD}+\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AD}=\frac{BC}{3GH}\ge\frac{2GH}{3GH}=\frac{2}{3}\)
VỚI D LÀ CHÂN ĐƯỜNG CAO HẠ TỪ A XUÔNG BC , G LÀ TRỌNG TÂM , H LÀ CHÂN ĐƯỜNG CAO HẠ TỪ G XUỐNG BC
B2 THÌ GIẢI BÌNH THƯỜNG =='. ĐỌC THÊM NCPT 9 NHÉ 

Kẽ phân giác AD của tam giác ABC, \(AD=l\)

Ta có:

\(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}=\frac{c.l.sin\frac{A}{2}}{2}+\frac{b.l.sin\frac{A}{2}}{2}=\frac{l}{2}.sin\frac{A}{2}.\left(b+c\right)\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(\frac{a.l}{2}\ge\frac{a.h_a}{2}=S_{ABC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a.l}{2}\ge\frac{l}{2}.sin\frac{A}{2}.\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{b+c}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)

bài bạn alibaba kiểu zì zì tam giác ban đầu đã vuông đâu

là 15 đó

Ta có : \(Sin\frac{A}{2}=Sin\widehat{BAM}=Sin\widehat{CAM}=\frac{BH}{AB}=\frac{CK}{CA}\)

\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}=\frac{BH}{b}=\frac{CK}{c}\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}=\frac{BH.CK}{bc}\)

Lại có : \(BH\le BM;CK\le CM\) 

\(\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}\le\frac{BM.CM}{bc}\le\frac{\frac{\left(BM+CM\right)^2}{4}}{bc}=\frac{\frac{BC^2}{4}}{bc}=\frac{a^2}{4bc}\)

\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\) (đpcm)