Yêu cầu chứng minh  \(B\ge1\)  là đáp án đúng cho bài toán này. 

Không giải!

Dễ thấy đề sai nếu cho x = y = 1 .

Cho  \(B=\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x},\)  trong đó,  \(x,y\)  là các số dương thỏa mãn điều kiện  \(xy=1\)

Chứng minh:  \(B\ge1\)

\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\)

Trước hết, ta thực hiện công đoạn áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  cho bốn số dương có dạng sau:

\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^3}{\left(1+y\right)}.\frac{\left(1+y\right)}{4}.\frac{x}{2}.\frac{1}{2}}=4\sqrt[4]{\frac{x^4}{16}}=2x\)

Khi đó, ta xây dựng được một bất đẳng thức cho riêng  phân số \(\frac{x^3}{1+y}\)  bằng cách suy ra từ kết quả vừa chứng minh ở trên:

\(\frac{x^3}{1+y}\ge\frac{3x}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1+y}{4}\)  

Đổi biến theo vòng hoán vị  \(y\rightarrow x,\)  từ đây, ta thiết lập được đánh giá tương tự như sau, điển hình:

\(\frac{y^3}{1+x}\ge\frac{3y}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1+x}{4}\)

Kết hợp hai bất đẳng thức vừa chứng minh ở trên, ta có đánh giá sau:

\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}\ge\frac{3x}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1+y}{4}+\frac{3y}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1-x}{4}\)

Biến đổi vế phải của bất đẳng thức trên, ta suy ra được:

\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}\ge\frac{5\left(x+y\right)-6}{4}\)

Hơn nữa, theo một kết quả quen thuộc, ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\)(sử dụng giả thiết  \(xy=1\)  để suy ra đánh giá mới cho bài toán)

Do đó,

\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}\ge\frac{5.2-6}{4}=1\)

\(\Rightarrow\)  \(B\ge1\)

Cuối cùng, với  \(x=y=1\)  (thỏa mãn điều kiện) thì  \(B=1\)  nên ta suy ra  \(1\)  là giá trị nhỏ nhất  của biểu thức  \(B\)

Phép chứng minh hoàn tất.

Ta có \(B=\frac{x^4}{x+xy}+\frac{y^4}{y+xy}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y+2xy}\ge\frac{\left(x+y\right)^4}{4\left(x+y+2\right)}=\frac{a^4}{4\left(a+2\right)}\)

Ta có \(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\Rightarrow a\ge2\)

Ta cần \(\frac{a^4}{4\left(a+2\right)}\ge1\Leftrightarrow a^4\ge4a+8\Leftrightarrow\frac{1}{2}a^4+\frac{1}{2}a^4\ge4a+8\)

Ta có\(\frac{1}{2}a^4\ge\frac{1}{2}.16=8;a^3\ge8\Rightarrow\frac{1}{2}a^4\ge4a\Rightarrow a^4\ge4a+8\)

=> B>=1

dấu = xảy ra <=> x=y=1

hùi nãy mem nào k sai cho t T_T t buồn 

\(VT\ge6\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)-2\left(xy+yz+zx\right)+2.\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)

\(=6\left(x+y+z\right)^2-2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=6.\left(\frac{3}{4}\right)^2-2.\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+\frac{9}{2.\frac{3}{4}}\)

\(=\frac{27}{8}-\frac{3}{8}+6=9\)

\(\Rightarrow\)\(VT\ge9\) ( đpcm ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)

Chúc bạn học tốt ~ 

\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

CM bđt phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( luôn đúng ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Từ x+y+z=3 ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\frac{\Leftrightarrow xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)

Nhân chéo ta có:

\(\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2y+xyz+x^2z+y^2x+y^2z+xyz+xyz+z^2y+z^2x=xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y+2xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2y+x^2z+y^2x+xyz\right)+\left(y^2z+z^2x+z^2y+xyz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(xy+xz+y^2+yz\right)+z\left(xy+xz+y^2+yz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(xy+xz+y^2+yz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left[\left(xy+y^2\right)+\left(xz+yz\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left[y\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)=0\)

Suy ra x+z=0 hoặc y+z=0 hoặc x+y=0

Với x+z=0 ta đc y=3

Với y+z=0 ta đc x=3

Với x+y=0 ta đc z=3

Từ đó suy ra đccm

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)

Ta có: \(\left(\sqrt{x+y}\right)^2=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+y=x+y-2z+2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

\(\Leftrightarrow2z=2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

Theo giả thiết, ta có: 

theo giả thiết, ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\)\(\Rightarrow\frac{x-z}{zx}=\frac{1}{y}\Rightarrow x-z=\frac{zx}{y}\)

Tương tự, ta có: \(y-z=\frac{zy}{x}\)

Do đó: \(2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=2\sqrt{\frac{zx}{y}.\frac{zy}{x}}=2z\) (1)

ta có: \(\left(\sqrt{x+y}\right)^2=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2z=2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)(2)

Thay (2) vào (1) ta thấy (2) luôn đúng

Suy ra ĐPCM

Vì \(x>0,y>0\Rightarrow\frac{1}{x}>0;\frac{1}{y}>0\)

mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\Rightarrow\frac{1}{z}>0\Rightarrow z>0\)

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow yz+zx-xy=0\)

\(\Leftrightarrow-z^2=-z^2+yz+zx-xy=-\left(x-z\right)\left(y-z\right)\)

\(\Leftrightarrow z^2=\left(x-z\right)\left(y-z\right)>0\)

\(\Rightarrow z=\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\left(z>0\right)\)

Lại có: \(x+y=x-z+y-z+2z\)

\(=\left(x-z\right)+\left(y-z\right)+2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)

Suy ra \(\sqrt{x+y}=\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\) (ĐPCM)

\(1=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\right)\)

\(\ge\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}}+\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}+\sqrt{\frac{z}{x}.\frac{x}{y}}=VP\) (rút gọn lại thôi:v)