Lời giải:

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$

$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Vì $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

$a-b=b-c=c-a=0$

$\Rightarrow a=b=c$

$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1$

Khi đó:

$(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)=(1+1)(1+1)(1+1)=8$ 

Ta có đpcm.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}=9\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1/3

Áp dụng hệ quả bất đẳng thức Cô - si , ta có :
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\cdot1\ge9\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz dạng Engel ta được:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{1}\)

\(\to \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge 9\)

\(\to\) Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)

\(\to a=b=c\)

Ta có:

a + b + c = 0

\(\Rightarrow\) a = -b - c

\(\Rightarrow\) a² = (-b - c)²

\(\Rightarrow\) a² = b² + 2bc + c²

\(\Rightarrow\) a² - b² - c² = 2bc

\(\Rightarrow\) (a² - b² - c²)² = (2bc)²

\(\Rightarrow\) a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2a²b² - 2a²c² + 2b²c² = 2b²c²

\(\Rightarrow\) a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2a²b² + 2a²c² + 2b²c²

\(\Rightarrow\) 2(a⁴ + b⁴ + c⁴) = a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²b² + 2a²c² + 2b²c²

\(\Rightarrow\) 2(a⁴ + b⁴ + c⁴) = (a² + b² + c²)²

\(\Rightarrow\) 2(a⁴ + b⁴ + c⁴) = 14²

= 144

\(\Rightarrow\) a⁴ + b⁴ + c⁴ = 144/2 = 72

\(\dfrac{a^3}{b}+ab+\dfrac{b^3}{c}+bc+\dfrac{c^3}{a}+ca\ge2\sqrt{\dfrac{a^4b}{b}}+2\sqrt{\dfrac{b^4c}{c}}+2\sqrt{\dfrac{c^4a}{a}}=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)

áp dụng AM GM ta có a^3/b+ab>=2a^2

chứng minh tương tự => a^3/b+b^3/c+c^3/a>=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)

mà ta có a^2+b^2+c^2>=(ab+bc+ca)

=>a^3/b+b^3/c+c^3/a>= ab+bc+ca

"=" xảy ra khi a=b=c

vì a+b+c=0 nên a,b,c lớn nhất chỉ có thể bằng ko,nên ab+2bc+3ca chỉ có thể < hoặc bằng 0

Ta có : a + b + c = 0

\( \implies\) b + c = - a ; a + b = - c 

Ta có : ab + 2bc + 3ca 

= ab + 2bc + ca + 2ca 

= ( ab + ca ) + ( 2bc + 2ca )

= a ( b + c ) + 2c ( a + b )

= a ( - a ) + 2c ( - c ) 

= - a² - 2c² 

= - ( a² + 2c² ) ( * )

Mà : a² \(\geq\)  0 ; 2c² \(\geq\)  0 

\( \implies\)  a² + 2c² \(\geq\)  0 ( ** )

Từ ( * ) ; ( ** ) 

\( \implies\)  - ( a² + 2c² )  \(\leq\)  0 

\( \implies\) ab + 2bc + 3ca  \(\leq\)  0