Theo bất đẳng thức 3 biến đối xứng thì ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z

Mà ta thấy: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=x^2+y^2+z^2=12\)

\(\Rightarrow x=y=z=2\)

Vậy x = y = z = 2

tớ  chưa học bđt

tớ làm được cách khác rồi nha các bạn . tớ cám ơn mn đã dành thời gian để trả lời câu hỏi này

https://diendantoanhoc.net/topic/182493-%C4%91%E1%BB%81-thi-tuy%E1%BB%83n-sinh-v%C3%A0o-l%E1%BB%9Bp-10-%C4%91hsp-h%C3%A0-n%E1%BB%99i-n%C4%83m-2018-v%C3%B2ng-2/

bài này năm trrong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐHSP Hà Nội Năm 2018 (vòng 2) bn có thể tìm đáp án trên mạng để tham khảo

Sử dụng bất đẳng thức AM-GN, ta có:

\(x^2y^2+1\ge2xy,\) \(y^2z^2+1\ge2yz,\) \(z^2x^2+1\ge2zx\)

Cộng các bất đẳng thức trên lại theo vế, sau đó cộng hai vế của bất đẳng thức thu được với \(x^2+y^2+z^2\), ta được:

\(\left(x+y+z\right)^2\le x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3=9\)

Từ đó suy ra: \(Q\le3\)

Mặt khác, dễ thấy dấu bất đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)  nên ta có kết luận \(Max_Q=3\)

Ta sẽ chứng minh \(Q\ge\sqrt{6}\) với dấu đẳng thức xảy ra, chẳng hạn \(x=\sqrt{6},\) \(y=z=0.\) Sử dụng bất đẳng thức AM-GN, ta có:

\(2xy+x^2y^2\le x^2+y^2+x^2y^2\le x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=6\)

Từ đó suy ra: \(xy\le\sqrt{7}-1< 2\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có: 

\(yz< 2,\) \(zx< 2.\)

Do đó, ta có: 

\(Q^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=6\)

Hay: \(Q\ge\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow Min_Q=\sqrt{6}\)

Ta có :

\(x^2+y^2\ge2xy\)

\(y^2+z^2\ge2yz\)

\(z^2+x^2\ge2zx\)

\(x^2+1\ge2x\)

\(y^2+1\ge2y\)

\(z^2+1\ge2z\)

Suy ra :  \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2.6=12\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z=1

Vậy GTNN của  \(x^2+y^2+z^2\)là 3 khi x=y=z=1

Dự đoán dấu bằng: \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)

\(gt\Leftrightarrow5x^2+2yz.x+4y^2+3z^2-60\text{ (1)}\)

(1) là một pt bậc hai ẩn x

\(\Delta'=y^2z^2-5\left(4y^2+3z^2-60\right)=\left(15-y^2\right)\left(20-z^2\right)\)

Ta có: x, y, z > 0 nên từ giả thiết suy ra: 

\(\hept{\begin{cases}60>4y^2\\60>3z^2\\4y^2+3z^2-60< 0\end{cases}}\)

nên (1) có: \(\hept{\begin{cases}\Delta'>0\\a.c=5\left(4y^2+3z^2-60\right)< 0\end{cases}}\)

Suy ra (1) có 2 nghiệm trái dấu. Do x > 0 nên ta chọn nghiệm dương, hay

\(x=\frac{-yz+\sqrt{15-y^2}.\sqrt{20-z^2}}{5}\)

Áp dụng bđt Côsi: \(x\le\frac{-yz+\frac{15-y^2+20-z^2}{2}}{5}=\frac{35-\left(y^2+z^2+2yz\right)}{10}=\frac{35}{10}-\frac{\left(y+z\right)^2}{10}\)

\(B=x+y+z\le-\frac{\left(y+z\right)^2}{10}+\left(y+z\right)+\frac{35}{10}\)

\(B\le-\frac{1}{10}\left[\left(y+z\right)^2-10\left(y+z\right)+5^2\right]+\frac{25}{10}+\frac{35}{10}\)

\(=-\frac{1}{10}\left(y+z-5\right)^2+6\le6\)

Với \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)thì giả thiết đúng và B = 6.

Vậy Max B = 6.

T chỉ tìm dươc giá trị lớn nhất thôi nhỏ nhất không biết