Mình chỉ tạm thời trả lời câu c thôi:

+ Nếu n là số chẵn thì n là số chẵn sẽ chia hết cho 2

suy ra: n.(n+5) sẽ chia hết cho 2                    (1)

+ Nếu n là số lẻ thì n+5 là số chẵn sẽ chia hết cho 2

suy ra: n.(n+5) sẽ chia hết cho 2                   (2)

 Vậy: từ 1 và 2 ta chứng minh rằng tích n.(n+5) luôn luôn chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n

a) ƯCLN(4n+1; 5n+1) = 1

Gọi UCLN(4n+1; 5n+1) = d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+1⋮d\\5n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5.\left(4n+1\right)⋮d\\4.\left(5n+1\right)⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}20n+5⋮d\\20n+4⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(20n+5\right)-\left(20n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(4n+1;5n+1\right)=1\)

b) UCLN(2n+1;2n+3) =1

Gọi UCLN(2n+1; 2n+3) = d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(2n+1\right)-\left(2n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(2\right)=\left\{1;2\right\}\)

Nếu d = 2 thì \(2n⋮2\)

Nhưng 3 không chia hết cho 2, Vậy k thoả màn điều kiện chia hết cho d

Nếu d = 1 => Thoả mãn điều kiện chia hết 

=> UCLN(2n+1; 2n+3) = 1

c) n.(n+5) chia hết cho 2 vs mọi n thuộc N

Th1: n là số chẵn

=> n + 5 là số lẻ

=> chẵn . lẻ = chẵn chia hết cho 2

Th2: n là số lẻ

=> n + 5 là số chẵn

=> chẵn . lẻ = chẵn chia hết cho 2

Vậy vs mọi n thuộc N, n(n + 5) chia hết cho 2

THANKS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Bài 1 

Tách n thành 2 dạng 2k +1 (lẻ) và 2k (chẵn)

Với trường hợp 2k + 1 (lẻ) ,ta có :

(n + 4)(n + 5) 

= (2k + 1 + 4)(2k + 1 + 5)

= (2k + 5)(2k + 6)

= (2k + 5).2.(k + 3)    chia hết cho 2    (1)

Với trường hợp 2k (chẵn) ,ta có :

(n + 4)(n + 5) 

= (2k + 4)(2k + 5) 

= 2.(k + 2)(2k + 5) chia hết cho 2    (2)

Từ 1 và 2 

=> Với mọi x , thì (n + 4)(n + 5) chia hết cho 2 

BẠN TỐT ĐẤY THẾ CÒN BÀI HAI THÌ SAO

2) 

Vì ƯCLN(2n + 1,2n + 3) = 1

=> 2n + 1 chia hết cho 1 và 2n + 3 chia hết cho 1

=> (2n + 3)-(2n + 1)=2 chia hết cho 1

Mà Ư(2) ={1;2}

Nên ƯCLN(2n +3, 2n +1) = 1 hoặc 2

Nếu ƯCLN(2n +3, 2n +1) = 2 thì 2n + 3 và 2n + 1 chia hết cho 2

mà 2n + 3 không chia hết cho 2 (vì 3 ko chia hết cho 2)và 2n + 1 ko chia hết cho 2(vì 1 ko chia hết cho 2)

=> ƯCLN(2n +3, 2n +1) = 1

Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+1;2n+3\right)\)

\(\Rightarrow2n+1⋮d;2n+3⋮d\)

\(\Rightarrow2n+3-2n-1⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d=2\)

Mà \(2n+1;2n+3\) là các số lẻ nên \(d=1\)

=> đpcm

gọi UCLN(2n+1,2n+3)=k

Ta có:

2n+1\(⋮\)k

2n+3\(⋮\)k

=>(2n+3)-(2n+1)\(⋮\)k

mik đang bận nên tẹp nữa làm tiếp

gọi d là ƯCLN ( 2n + 1 , 2n + 3 )

\(\Rightarrow\)2n + 1 \(⋮\)d ; 2n + 3 \(⋮\)d

\(\Rightarrow\) ( 2n + 3 ) - ( 2n + 1 ) \(⋮\)d

\(\Rightarrow\)2 \(⋮\)d

Mà 2n + 1 là số lẻ \(\Rightarrow\)d cũng là số lẻ \(\Rightarrow\)d = 1

Vậy ƯCLN ( 2n + 1 , 2n + 3 ) = 1