#)Giải :

Bài 1 :

\(N=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

\(\Rightarrow N< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow N< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow N< 1-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow N< \frac{99}{100}< \frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow N< \frac{3}{4}\)

       #~Will~be~Pens~#

Bài 1:

\(N=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

Đặt \(S=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

 Ta có: \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

            \(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)

             ...................

            \(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{2}-\frac{1}{100}< \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow N< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)

Bài 2:

a) Để A là phân số \(\Leftrightarrow n-2\ne0\)

                                \(\Leftrightarrow n\ne2\)

Vậy \(n\ne2\)thì A là phân số .

b) Để A là số nguyên 

\(\Leftrightarrow n+1⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2+3⋮n-2\)

mà \(n-2⋮n-2\)

\(\Rightarrow3⋮n-2\)

\(\Rightarrow n-2\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

Tự tìm n 

Bài 3:

áp dụng tính chất \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a+m}{b+m}< 1\left(m\in N\right)\)

Ta có: \(P=\frac{10^{11}-1}{10^{12}-1}< \frac{10^{11}-1+11}{10^{12}-1+11}=\frac{10^{11}+10}{10^{12}+10}=\frac{10.\left(10^{10}+1\right)}{10.\left(10^{11}+1\right)}=\frac{10^{10}+1}{10^{11}+1}\)

\(\Rightarrow P< Q\)

Bài 2b)

A = \(\frac{n+1}{n-2}\)= \(\frac{n-2}{n-2}\)+\(\frac{3}{n-2}\)

                       = 1 + \(\frac{3}{n-2}\)

Được A có giá trị nguyên n - 2 (kí hiệu thuộc) Ư(3) = { -3;-1;1;3 }

Vậy với n (kí hiệu thuộc) {-1;1;3;5} thì A có giá trị nguyên

Mình nghĩ bài 1 là rút gọn biểu thức nên sẽ giải như này:
Bài 1
\(B=3+3^2+3^3+...+3^{2015}\)(1)
Nhân 2 vế của (1) với 3
3B= \(3^2+3^3+3^4...+3^{2016}\)(2)
Trừ 2 vế của (2) cho (1)
3B-B= \(\left(3^2+3^3+3^4...+3^{2016}\right)-\left(3+3^2+3^3+...+3^{2015}\right)\)
2B   =\(3^2+3^3+3^4...+3^{2016}-3-3^2-3^3-...-3^{2015}\)
2B   =\(\left(3^2-3^2\right)+\left(3^3-3^3\right)+...+\left(3^{2015}-3^{2015}\right)+\left(3^{2016}-3\right)\)
2B   =\(3^{2016}-3\)
  B   = \(\frac{\left(3^{2016}-3\right)}{2}\)
Bài 2 làm tương tự như số mũ sẽ giảm đi
nhưng phần tìm n thì mình ko biết
Bài 3
nhân 2 vế với \(\frac{1}{2}\)ta có 1/1.2-1/2.3+1/2.3-1/3.4+...+1/98.99-1/99.100=1/1.2-1/99.100
                             =>1/1.2-1/99.100=1/k.(1/1.2-1/99.100)
                             =>1/k=1=>k=1
Bài 4:
rút gọn lại dc 5/28+5/70+5/130+...+5/700
tách 28 thành 4.7; 70 thành 7.10; 130 thành 10.13 ...
nhân cả biểu thức với 5/3 
5/3A= 1/4-1/7+1/7-1/10+1/10-1/13+...+1/25-1/28
5/3A= 1/4-1/28
5/3A= 3/14
     A=9/70

Bài 5: Vì 1/2<2/3;3/4<4/5;5/6<6/7...99/100<100/101
=>M<N

a) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100

= (100 + 1) x 100 : 2

= 5050

a) A=(100-1):1+1=100 số hạng   

    A=100:2=50 cặp

    tính giá trị của từng cặp số = (1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)=101

    tính giá trị của biểu thức A: 50*101=5050

    [ mình tính theo công thức đó ]

#It's the moment when you're in good mood, you accidentally click back =.=

1) Calculate

\(P=1\frac{1}{3}.1\frac{1}{8}.1\frac{1}{15}....1\frac{1}{63}.1\frac{1}{80}\)

\(=\frac{4}{3}.\frac{9}{8}.\frac{16}{15}....\frac{64}{63}.\frac{81}{80}\)

\(=\frac{2.2}{1.3}.\frac{3.3}{2.4}.\frac{4.4}{3.5}....\frac{8.8}{7.9}.\frac{9.9}{8.10}\)

\(=\frac{2.9}{10}=\frac{9}{5}\)

ta có: 100¹⁰ + 1 > 100¹⁰ - 1

⇒ A = \(\frac{100^{10}+1}{100^{10}-1}< \frac{100^{10}+1-2}{100^{10}-1-2}=\frac{100^{10}-1}{100^{10}-3}=B\)

vậy A < B

3)

\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{49.50}\)

\(=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{50-49}{49.50}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=1-\frac{49}{50}\)

\(=\frac{49}{50}\)

⇒ A < 1 (1)

\(B=\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow B>\frac{1}{10}+\left(\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+...+\frac{1}{100}\right)=\frac{1}{10}+\frac{90}{100}=1\)

⇒ B > 1 (2)

từ (1) và (2) ⇒ A<1<B

vậy A < B

a) 2 +4+6+8+...+2018

= ( 2018+2) x 1009 : 2

= 2020 x 1009 : 2

= 1009 x (2020:2)

= 1009 x 1010

= 1 019 090

b) S = 10 + 10² + 10³ + ...+ 10¹⁰⁰

=> 10.S = 10² + 10³ + 10⁴ +...+ 10¹⁰¹

=> 10.S - S = 10¹⁰¹-10

9.S=10¹⁰¹- 10

\(\Rightarrow S=\frac{10^{101}-10}{9}\)

c) \(S=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^{100}}\)

\(\Rightarrow5S=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{99}}\)

\(5S-S=1-\frac{1}{5^{100}}\)

\(4S=1-\frac{1}{5^{100}}\)

\(S=\frac{1-\frac{1}{5^{100}}}{4}\)

e cx ko nx, e ms hok lp 7 thoy, sang hè ms lp 8! e sr cj nhiều nha!

d) \(S=\frac{1!}{3!}+\frac{2!}{4!}+\frac{3!}{5!}+...+\frac{2018!}{2020!}\)

\(S=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1.2}{1.2.3.4}+\frac{1.2.3}{1.2.3.4.5}+...+\frac{1.2.3...2018}{1.2.3...2020}\)

\(S=\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2019.2020}\)

\(S=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2019}-\frac{1}{2020}\)

\(S=\frac{1}{2}-\frac{1}{2020}\)

\(S=\frac{1009}{2020}\)