Ta có: MC // ND (gt)

Suy ra tứ giác MCDN là hình thang

Lại có: OM + AM = ON + BN (= R)

Mà AM = BN (gt)

Suy ra: OM = ON

Kẻ OI ⊥ CD     (3)

Suy ra: IC = ID (đường kính dây cung)

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ACDN

Suy ra: OI // MC // ND     (4)

Từ (3) và (4) suy ra: MC ⊥ CD, ND ⊥ CD.

 a) Ta thấy OI//AH//BK \(\left(\perp CD\right)\).

 Xét hình thang ABKH (AH//BK), O là trung điểm AB. OI//AH \(\left(I\in HK\right)\) nên I là trung điểm HK.

 b) Hạ \(CP\perp AB\) tại P, \(DQ\perp AB\) tại Q. Khi đó IE//CP//DQ \(\left(\perp AB\right)\). 

 Xét hình thang CDQP (CP//DQ) có I là trung điểm CD (hiển nhiên), IE//CP và \(E\in PQ\) nên IE là đường trung bình của hình thang CDQP \(\Rightarrow IE=\dfrac{CP+DQ}{2}\)

 Lại có \(S_{ACB}=\dfrac{1}{2}AB.CP\), \(S_{ADB}=\dfrac{1}{2}.AB.DQ\) 

 \(\Rightarrow S_{ACB}+S_{ADB}=AB.\dfrac{CP+DQ}{2}=AB.IE\) (đpcm)

 c) Ta có \(S_{AHKB}=\dfrac{AH+BK}{2}.HK=OI.HK\) 

 Do dây CD có độ dài không đổi nên khoảng cách từ O đến dây CD là OI cũng không đổi. Như vậy ta chỉ cần tìm vị trí của C để HK lớn nhất. 

 Thật vậy, dựng hình bình hành ABLH. Khi đó vì BK//AH nên \(L\in BK\). Đồng thời ta luôn có \(HK\le HL=AB\), suy ra \(S_{AHKB}\le OI.AB\).

 Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow HK=HL\)  \(\Leftrightarrow K\equiv L\) \(\Leftrightarrow\) AHKB là hình bình hành \(\Leftrightarrow\) HK//AB hay CD//AB \(\Rightarrow OI\perp AB\). Vậy C là điểm sao cho \(OI\perp AB\).

 (Nếu muốn tìm cụ thể vị trí của C, thì mình nói luôn nó là điểm C sao cho \(sđ\stackrel\frown{AC}=180^o-2arc\cos\left(\dfrac{CD}{AB}\right)\) nhé. Chứng minh cái này dễ, mình nhường lại cho bạn.)

Chỗ vị trí C mình sửa lại là \(sđ\stackrel\frown{AC}=90^o-arc\sin\dfrac{CD}{AB}\) nhé.

a) Để chứng minh I là trung điểm HK, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông. Vì O là tâm của nửa đường tròn, nên IO vuông góc với CD. Tương tự, AI và BI cũng vuông góc với CD. Do đó, ta có tam giác IOA và tam giác IOB là tam giác vuông cân. Vì vậy, ta có AI = IB và IO = IO. Từ đó, ta có thể kết luận rằng I là trung điểm HK.

b) Để chứng minh rằng Sacb + Sadb = IE.AB, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông. Vì O là tâm của nửa đường tròn, nên IO vuông góc với CD. Tương tự, AI và BI cũng vuông góc với CD. Do đó, ta có tam giác IOA và tam giác IOB là tam giác vuông cân. Vì vậy, ta có AI = IB và IO = IO. Từ đó, ta có thể kết luận rằng Sacb + Sadb = IE.AB.

c) Để tìm vị trí dây CD để diện tích AHKB lớn nhất, ta cần xác định vị trí của I trên CD. Khi I là trung điểm HK, diện tích AHKB sẽ đạt giá trị lớn nhất