\(GT\Leftrightarrow x^2+y^2+1+2xy-2x-2y=xy\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=1-xy\rightarrow xy\le1\)

\(\rightarrow\left(x+y-1\right)^2\le1\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x+y\right)\le0\rightarrow x+y\le2\)

\(\text{Ta có:}P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}=\frac{1}{2xy}+\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge\frac{1}{2xy}+\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{2xy}{\left(x+y\right)^2}=\left(\frac{1}{2xy}+\frac{2xy}{\left(x+y\right)^2}\right)+\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge\frac{2}{x+y}+\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{2}{2}+\frac{4}{2^2}=2\)

Vậy Min_P=2 <=>x=y=1

ra 1 nhé

Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy

Các bạn ơi giúp mình với ạ, cảm ơn nhiều!

dong y quan diem @aliba

bo xung them. nhieu qua khi tra loi phan cau hoi troi len khoi man hinh =>" ko nhin duoc de bai"

(da khong biet lai con luoi dang cau hoi nua)

Ta có: \(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}\)

\(=\frac{6}{\left(x+y\right)^2}=6\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Bài làm:

Ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(bất đẳng thức Cauchy)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\)

\(\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwars ta được:

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1}{2.\frac{1}{4}}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\)

\(=\frac{4}{1^2}+2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

Theo bđt Svacxo thì :

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{2xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{1}=1+2\sqrt{2}+2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=0,5\)

Vậy \(A_{min}=1+2\sqrt{2}+2\)khi \(x=y=0,5\)

dấu = mình chọn bừa nha 

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{2xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y\right)^2}=3+2\sqrt{2}\)

Amin =\(3+2\sqrt{2}\) khi  x =y =1/2

\(x^3+y^3+xy=x^2+y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=1\\x^2-xy+y^2=0\end{cases}}\)

- \(x^2-xy+y^2=0\Rightarrow x=y=0\Rightarrow P=\frac{5}{2}\).

- \(x+y=1\Rightarrow0\le x,y\le1\).

\(P=\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}\ge\frac{1}{2+\sqrt{y}}+\frac{2}{1+\sqrt{y}}\ge\frac{1}{2+1}+\frac{2}{1+1}=\frac{4}{3}\)

Dấu \(=\)xảy ra tại \(x=0,y=1\).

\(P=\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}\le\frac{1+\sqrt{x}}{2}+\frac{2+\sqrt{x}}{1}\le\frac{1+1}{2}+\frac{2+1}{1}=4\)

Dấu \(=\)xảy ra tại \(x=1,y=0\).

lon ok

Yes.

Dăm ba mấy dạng kiểu này

Cô si vài cái có gì khó khăn !

\(P=\frac{3yz}{x}+\frac{4xz}{y}+\frac{5xy}{z}\)

\(=\left(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)+2\left(\frac{yz}{x}+\frac{xy}{z}\right)+3\left(\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}\right)\)

\(\ge2z+3y+6x\)

\(=2\left(x+z\right)+4\left(x+y\right)\)

\(\ge4\sqrt{xz}+8\sqrt{xy}\)

\(=4\left(\sqrt{xz}+2\sqrt{xy}\right)\)

\(=4\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

\(A=\frac{\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{z^2+xy+yz+zx}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}\)

\(A=\frac{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}\ge\frac{\sqrt{\left(z+\sqrt{xy}\right)^2}+\sqrt{\left(x+y\right)^2}}{1+\sqrt{xy}}\)

\(A\ge\frac{z+\sqrt{xy}+x+y}{1+\sqrt{xy}}=\frac{1+\sqrt{xy}}{1+\sqrt{xy}}=1\)

\(A_{min}=1\) khi \(x=y\)

1, A= y^3(1-y)^2 = 4/9 . y^3 . 9/4 (1-y)^2

= 4/9 .y.y.y . (3/2-3/2.y)^2

=4/9 .y.y.y (3/2-3/2.y)(3/2-3/2.y)

<= 4/9 (y+y+y+3/2-3/2.y+3/2-3/2.y)^5

=4/9 . 243/3125

=108/3125

Đến đó tự giải

Thử sức với bài 1 xem thế nào :vv
x>0 => 0<x<=1 
f(x)=x^2(1-x)^3
Xét f'(x) = -(x-1)^2x(5x-2) 
Xét f'(x)=0 -> nhận x=2/5 và x=1thỏa mãn đk trên .
 Thử x=1 và x=2/5 nhận x=2/5 hàm số Max tại ddk 0<x<=1 (vậy x=1 loại)
P/s: HS cấp II hong nên làm cách này nhé em :vv