Giải như sau:
Bài 1:
Bổ đề: Trong 55 số nguyên dương bất kì tồn tại 33 số có tổng chia hết cho 33
Cm:
TH1: Nếu trong 55 số xuất hiện cả ba kiểu dư 1,2,31,2,3 thì có đpcm
TH2: Chỉ có 22 hoặc 11 trong số ba kiểu dư xuất hiện suy ra theo nguyên lý dirichlet suy ra có 33 số có cùng kiểu dư nên tổng chia hết cho 3đpcm
Bổ đề được chứng minh

Áp dụng vào bài, ta xét 1717 số chia thành 33 nhóm 5,5,75,5,7 phần tử
Theo nhận xét mỗi nhóm đều có 33 số có tổng chia hết cho 33, sau khi chọn, trong mỗi tập chọn được 33 số có tổng lần lượt là 3x1,3x2,3x33x1,3x2,3x3
Sau khi chọn còn 17−9=817−9=8 số
Áp dụng nhận xét tiếp suy ra trong 88 số trên chọn được 33 số tổng là 3x43x4
Còn 8−3=58−3=5 số theo nhận xét chọn được 33 số tổng là 3x53x5
Trong 55 số x1,x2,...,x5x1,x2,...,x5 có 33 số tổng chia hết cho 33 giả sử x1+x2+x3⋮3x1+x2+x3⋮3
Khi đó chọn được 99 số tổng chia hết cho 33 vì 3(x1+x2+x3)⋮93(x1+x2+x3)⋮9 đpcm

Chú ý bài này nếu thay 1717 thành 1616 thì không còn đúng
Vì nếu 1616 số ta chọn các kiểu dư của 1616 số lần lượt là
(1,−1,1,−1,...,1,−1)(1,−1,1,−1,...,1,−1)
Với 88 chữ số 11, 88 chữ số −1−1
Khi đó tổng 99 số bất kì sẽ tối đa là 1+1+1+...+1+−1=71+1+1+...+1+−1=7 (với 88 chữ số 11)
Tối thiểu là −1+−1+...+−1+1=−7−1+−1+...+−1+1=−7 (với 88 chữ số −1−1)
Khi đó tổng 99 số bất kì tối thiểu −7,7−7,7 như vậy tổng chia hết cho 99 khi và chỉ khi tổng đó bằng 00
Nhưng đây là điểu không thể vì trong 99 số giả sử có kk số 11, qq số −1−1
Khi đó k−q=0k−q=0 như vậy k+qk+q chẵn
Như vậy vô lí vì k+q=9k+q=9 lẻ
Do đó 1616 số thì không thỏa mãn

Số đó là : 

56789 . Tổng của chúng = 35

Đáp số : 56789

Bạn tham khảo ở đây nhé

Bài toán 120 - Học toán với OnlineMath

Ta có trong 5 số bất kỳ luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3 .

Như vậy trong 9 số thì tồn tại 5 cặp , mỗi cặp 3 số có tổng chia hết cho 3

Mỗi cặp đồng dư 0,3,6 mod 5

Nếu 3 cặp cùng 1 lớp đồng dư ⇒ dpcm

Mà có 5 cặp ⇒ Có đầy đủ 3 lớp đồng dư ⇒ Tồn tại 5 số có tổng chia hết cho 5

vi no la so nguyen

Ta ký hiệu s(n) là tổng các chữ số của số n. 
Trước tiên ta cmr: "nếu số a là số đã cho có chữ số tận cùng bằng 0 (a chia hết cho 10) và sau a có ít nhất 9 số liên tiếp đã cho và s(a) chia cho 11 dư 0 hoặc 2, 3, ..., 10 thì trong các số đã cho có số mà tổng các chữ số chia hết cho 11" ♦. 
CM: 
Nếu s(a) chia cho 11 dư 0 thì ta có đ.p.c.m 
Nếu s(a) = 11b + r với 2 ≤ r ≤ 10 => 1 ≤ 11 - r ≤ 9 
=> số [a + (11 - r)] nằm trong các số đã cho do sau a có ít nhất 9 số đã cho. Có s([a + (11 - r)]) = s(a) + (11 - r) = 11(b + 1) (số a và a + (11 - r) chỉ khác nhau chữ số hàng đơn vị), tức số a + (11 - r) có tổng các chữ số chia hết cho 11 (đ.p.c.m) 

Trong 39 số liên tiếp phải có ít nhất 1 số chia hết cho 10. Ta gọi k là số nhỏ nhất trong 39 số đã cho mà chia hết cho 10. Ta cmr có ít nhất 29 số đã cho lớn hơn k. Thật thế, nếu chỉ có nhiều nhất 28 số đã cho lớn hơn k thì có nghĩa là có ít nhất 10 số đã cho nhỏ hơn k, do vậy trong 10 số đó có 1 số chia hết cho 10 mà lại nhỏ hơn k, mâu thuẫn với định nghĩa của số k. 
Ta xét các th: 
1. s(k) chia cho 11 dư 0 hoặc dư 2, 3, ..., 10. Từ ♦ => trong các số đã cho có số có tổng các chữ số chia hết cho 11 
2. s(k) = 11m + 1. Ta xét 2 th: 
2.1. chữ số hàng chục của k ≤ 8 
Do sau k có ít nhất 29 số đã cho nên số k + 10 nằm trong các số đã cho, và s(k + 10) = s(k) + 1 = 11m + 2 (số k + 10 chỉ khác số k bằng chữ số hàng chục tăng thêm 1), và sau (k + 10) có ít nhất 19 số đã cho nên theo ♦ trong các số đã cho có số mà tổng các chữ số chia hết cho 11 
2.2. Số k có chữ số tận cùng là 9...90 (p chữ số 9 với p ≥ 1) 
Số k + 10 có dạng 0...0 (có p + 1 chữ số 0). s(k + 10) = s(k) - 9p + 1 = 11(m - p) + 2(p + 1) (số k + 10 so với số k có các chữ số ở p hàng liên tiếp kể từ hàng chục giảm đi 9 và có chữ số ở hàng cao hơn tiếp theo tăng thêm 1). 
Nếp 2(p + 1) chia hết cho 11 hoặc dư 2, 3, ..., 10 thì s(k + 10) chia cho 11 dư 0, 2, 3, ..., 10 vậy theo ♦ trong các số đã cho có số mà tổng các chữ số chia hết cho 11 
Nếu 2(p + 1) chia 11 dư 1 => s(k + 10) = 11q + 1, mà số k + 10 có tận cùng bằng p + 1 chữ số 0 (ít nhất 2 chữ số 0 do p ≥ 1) nên với số k1 = (k + 10) + 19 có s(k1) = s(k + 10) + 1 + 9 = 11(q + 1) (do số (k + 1) + 19 và số (k + 1) chỉ khác nhau ở 2 chữ số cuối 19). Dĩ nhiên số k1 = k + 29 nằm trong 39 số đã cho do sau k có ít nhất 29 số đã cho, và có tổng các chữ số chia hết cho 11 

Vậy trong 39 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại số có tổng các chữ số chia hết cho 11

theo nguyên lý dirichlet cơ mà

Trong 39 STN liên tiếp sẽ tồn tại dãy gồm 30 số sau:

( a0, a1, a2, a3, ...., a9 ) ; ( b0, b1, b2, b3, ...., b9 ) ; ( c0, c1, c2, ...., c9 )

Điều kiện: b = a + 1 ; c = b + 1 = a + 2

Gọi x là tổng các chữ số của a0 thì tổng của 30 số là :

( x, x + 1, x + 2, ..., x + 9 ) ; ( x + 1, x + 2, x + 3, ... , x + 10 ) ; ( x + 2, x + 3, x + 4, ... , x + 11 )

Vì trong dãy trên có dãy: x, x + 1, x + 2, ...., x + 11

Mà dãy đó là dãy gồm 12 STN liên tiếp nên tồn tại một số ( tổng ) chia hết 11

=> đpcm

Mecha night crow 6A3 đại kim

mấy bài này dễ lắm.

bn có thể vào học bài và chọn phương pháp phản chứng hay dấu hịu chia hết thì sẽ ra

tíc mình nha