Lời giải:
\(A=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2=[2ab+(a^2+b^2-c^2)][2ab-(a^2+b^2-c^2)]\)

\(=[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=(a+b-c)(a+b+c)(c-a+b)(c+a-b)\)

\(=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0\) theo BĐT tam giác

Do đó ta có đpcm.

A=(2ab-a^2-b^2+c^2).(2ab+a^2+b^2-c^2)

A=(c^2-(a-b)^2).((a+b)^2-c^2)

A=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)

Do c+b-a>0

c+a-b>0

a+b-c>0

a+b+c>0

=>A>0

@Hà Nhung Huyền Trang

Tuyển tập Bất đẳng thức  Trần Sĩ Tùng  4 III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki  1. Chứng minh: (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2)    BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh: + £sinx cosx 2 3. Cho 3a – 4b = 7.  Chứng minh: 3a2 + 4b2 ³ 7. 4. Cho 2a – 3b = 7.  Chứng minh:  3a2 + 5b2 ³ 72547. 5. Cho 3a – 5b = 8.  Chứng minh:  7a2 + 11b2 ³ 2464137. 6. Cho a + b = 2.  Chứng minh:  a4 + b4 ³ 2. 7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: + ³2 2 1a b2  Lời giải:  I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1.  Cho a, b > 0 chứng minh: + +æ ö³ ç ÷è ø33 3a b a b2 2 (*)  (*) Û + +æ ö- ³ç ÷è ø33 3a b a b02 2 Û ( )( )+ - ³23a b a b 08. ĐPCM. 2.  Chứng minh: + +£ 2 2a b a b2 2 («)  ÷ a + b £ 0 , («) luôn đúng.  ÷ a + b > 0 , («) Û + + +- £2 2 2 2a b 2ab a b04 2 Û ( )- ³2a b04 , đúng.   Vậy: + +£ 2 2a b a b2 2. 3.  Cho a + b ³ 0 chứng minh: + +³ 3 33a b a b2 2 Û ( )+ +£3 3 3a b a b8 2   Û ( )( )- - £2 23 b a a b 0 Û ( ) ( )- - + £23 b a a b 0, ĐPCM. 4.  Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ³ +a ba bb a  («)   («) Û + ³ +a a b b a b b a Û ( ) ( )- - - ³a b a a b b 0  Û ( )( )- - ³a b a b 0 Û ( ) ( )- + ³2a b a b 0, ĐPCM. 5.  Chứng minh: Với a ³ b ³ 1:  + ³++ +2 21 1 21 ab1 a 1 b («)  Trần Sĩ Tùng  Tuyển tập Bất đẳng thức  1 PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN    I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1.  Cho a, b > 0 chứng minh: + +æ ö³ ç ÷è ø33 3a b a b2 2 2.  Chứng minh: + +£ 2 2a b a b2 2 3.  Cho a + b ³ 0 chứng minh: + +³ 3 33a b a b2 2 4.  Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ³ +a ba bb a 5.  Chứng minh: Với a ³ b ³ 1:  + ³++ +2 21 1 21 ab1 a 1 b 6.  Chứng minh: ( )+ + + ³ + +2 2 2a b c 3 2 a b c ;  a , b , c Î R 7.  Chứng minh: ( )+ + + + ³ + + +2 2 2 2 2a b c d e a b c d e 8.  Chứng minh: + + ³ + +2 2 2x y z xy yz zx 9. a. Chứng minh: + + + +³ ³a b c ab bc ca; a,b,c 03 3  b. Chứng minh: + + + +æ ö³ ç ÷è ø22 2 2a b c a b c3 3 10.  Chứng minh: + + ³ - +22 2ab c ab ac 2bc4 11.  Chứng minh: + + ³ + +2 2a b 1 ab a b 12.  Chứng minh: + + ³ - +2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz 13.  Chứng minh: + + + ³ - + +4 4 2 2x y z 1 2xy(xy x z 1) 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: + ³3 3 1a b4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:       a.  ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).       b.  abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)       c.  2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0

\(A=4a^2b^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2\)

     \(=4a^2b^2-\left(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\right)\)

      \(=4a^2b^2-a^4-b^4-c^4-2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)

       \(=2a^2b^2-a^4-b^4-c^4+2b^2c^2+2c^2a^2\)

        \(=-a^4+2a^2b^2-b^4-c^4+2b^2c^2+2c^2a^2\)

        \(=-\left(a^2-b^2\right)^2-c^2\left(c^2-2b^2-2a^2\right)>0\)

Vậy A > 0

tại sao cái cuối cùng lại lớn hơn 0 ???
 

Ta có :

\(A=4a^2b^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2\)

\(=\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\)

\(=\left[c^2-\left(a^2+b^2-2ab\right)\right]\left[\left(a^2+b^2+2ab\right)-c^2\right]\)

\(=\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)

\(=\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác thì ta có : 

\(b+c-a>0\)

\(a+c-b>0\)

\(a+b-c>0\)

Hiển nhiên \(a+b+c>0\)

\(A\)là tích của 4 số dương nên \(A>0.\)

Vậy \(A>0.\)

=(2ab−a2−b2+c2)(2ab+a2+b2−c2)

=[c2−(a2+b2−2ab)][(a2+b2+2ab)−c2]

=[c2−(a−b)2][(a+b)2−c2]

=(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)(a+b+c)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác thì ta có : 

b+c−a>0

a+c−b>0

a+b−c>0    a+b+c>0

A  A là tích của 4 số dương nên A>0.

Vậy A>0.

a) Biến đổi biểu thức ban đầu tương đương: 

4abc > a[ a² - (b-c)²] +b[b² - (a-c)²] +c[c² - (a-b)²] 

<=> 4abc > a(a+b-c)(a+c-b) + b(b+c-a)(b+a-c) + c(c+b-a)(c+a-b) 

Đến đây thì đặt ẩn phụ kiểu quen thuộc rồi ;) 

Đặt a+b-c = x ; b+c-a =y ; c+a-b =z (x,y,z > 0 ) Thì a= (x +z)/2 ; b= (x+y/2) ; c= (y+z)/2 

Biểu thức trở thành: 

(x+y)(y+z)(z+x) > (x+z)xz + (x+y)xy + (y+z)yz 

Đơn giản rồi ; biểu thức này tương đương 2xyz > 0 (đúng với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ;) 

*Mở rộng thêm: Còn chứng minh được a^3 +b^3 +c^3 +3abc >= a²(b+c) +b²(a+c) +c²(b+a) > a^3 +b^3 +c^3 +2abc với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ;)