Gọi tứ giác là ABCD,O là giao điểm của 2 đường chéo

Xét t/g AOB có: OA+OB>AB

Xét t/g BOC có: OB+OC>BC

Xét t/g COD có: OC+OD>CD

Xét t/g AOD có: OA+OD>DA

Do đó: OA+OB+OB+OC+OC+OD+OD+OA>AB+BC+CD+DA

=>2(OA+OB+OC+OD)>AB+BC+CD+DA

=>AC+BD > \(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\) (1)

Xét t/g ABC có: AB+BC > AC

Xét t/g BDC có: BC+DC > BD

Xét t/g CDA có: CD+AD > AC

Xét t/g DAB có: DA+AB > BD

Do đó AB+BC+BC+CD+CD+AD+DA+AB > AC+BD+AC+BD

=>2(AB+BC+CD+DA) > 2(AC+BD)

=>AB+BC+CD+DA > AC+BD (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Áp dụng BĐT tam giác cho các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}OA+OB>AB\\OB+OC>BC\\OC+OD>CD\\AO+OD>AD\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow OA+OB+OB+OC+OC+OD+OA+OD>AB+BC+CD+AD\)

\(\Rightarrow2\left(AC+BD\right)>\left(AB+BC+CD+DA\right)\)

\(\Rightarrow AC+BD>\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}\)

Tương tự, áp dụng BĐT tam giác cho các tam giác ABC,BCD, CDA, DAB ta có: \(AB+BC>AC;BC+CD>BD;CD+DA>AC;DA+AB>BD\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(AB+BC+CD+DA\right)>2\left(AC+BD\right)\)

\(\Leftrightarrow AC+BD< AB+BC+CD+DA\)

Gọi O là giao điểm 2 dường chéo AC và BD của tứ giác ABCD. 
Áp dụng định lý " trong một tam giác một cạnh thì bé hơn tổng 2 cạnh kia" ta có: 
AB < OA + OB (1) 
BC < OB + OC (2) 
CD < OC + OD (3) 
DA < OD + OA (4) 
(1) + (2) + (3) + (4) : 
AB + BC + CD + DA < 2(OA + OC + OB + OD) = 2(AC + BD) 
hay (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD (*) 
Mặt khác : 
AC < AB + BC (1') 
BD < BC + CD (2') 
AC < CD + DA (3') 
BD < DA + AB (4') 
(1') + (2') + (3') + (4') : 
2(AC + BD) > 2(AB + BC + CD + DA) 
hay AC + BD < AB + BC + CD + DA (**) 
Từ (*) và (**) (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD < AB + BC + CD + DA

Giả sử tứ giác ABCD có: AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:

AC+BD=AO+OB+OC+OD>AB+CD=a+c

Tương tự: AC+BD>b+d.

Suy ra: 2(AC+BD)>a+b+c+d⇒AC+BD=a+b+c+d2

Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AC<a+b;AC<c+d

BD<b+c;BD<a+d

⇒2(AC+BD)<2(a+b+c+d).

⇒AC+BD<a+b+c+d.

Vậy tổng hai dường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác.

cho tứ giác ABCD có hai góc đối bù nhau.Đường thẵng AD và BC cắt nhau tai E,hai đường thẵng AB và DC cắt nhau tại F.Kẻ phân giác của hai góc BFC và CEP cắt nhau tại M. CMR góc EMF =90 

LƯU Ý

Các bạn học sinh KHÔNG ĐƯỢC đăng các câu hỏi không liên quan đến Toán, hoặc các bài toán linh tinh gây nhiễu diễn đàn. Online Math có thể áp dụng các biện pháp như trừ điểm, thậm chí khóa vĩnh viễn tài khoản của bạn nếu vi phạm nội quy nhiều lần.

Chuyên mục Giúp tôi giải toán dành cho những bạn gặp bài toán khó hoặc có bài toán hay muốn chia sẻ. Bởi vậy các bạn học sinh chú ý không nên gửi bài linh tinh, không được có các hành vi nhằm gian lận điểm hỏi đáp như tạo câu hỏi và tự trả lời rồi chọn đúng.

Mỗi thành viên được gửi tối đa 5 câu hỏi trong 1 ngày

Các câu hỏi không liên quan đến toán lớp 1 - 9 các bạn có thể gửi lên trang web h.vn để được giải đáp tốt hơn.