Đặt \(A=4x\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+z\right)+y^2z^2\)

\(=4\left(x+y\right)\left(x+z\right)x\left(x+y+z\right)+y^2z^2=4\left(x^2+xz+xy+yz\right)\left(x^2+xy+xz\right)+y^2z^2\)

Đặt x²+xy+xz=t, ta có:

\(A=4\left(t+yz\right)t+y^2z^2=4t^2+4tyz+y^2z^2=\left(2t+yz\right)^2=\left(2x^2+2xy+2xz+yz\right)^2\ge0\)

ta có : \(4x\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)y^2x^2=4x\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)^2y^2x^2\)

không thể khẳng định đc \(\Rightarrow\) bn xem lại đề .

1, xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz

= x²y+xy²+y²z+yz²+x²z+xz²+2xyz

=(x²y+x²z+xz²+xyz) + ( xy²+y²z+yz²+xyz)

=x(xy+xz+z²+yz)+y(xy+yz+z²+xz)

=(xy+xz+yz+z²).(x+y)

=(x(y+z)+z(y+z)).(x+y)

=((y+z).(x+z)).(x+y)= (x+y)(x+z)(y+z)

2. 3(x-3)(x-7)+(x-4)²+48

=3(x²+4x-21)+x²-8x+16+48

=4x²-4x+1 = (2x-1)²

Thay x=0,5 vào bt trên, ta có : (2.0,5 -1)²=0

3, x²-6x+10

= x²-2.3.x+9+1

=(x-3)²+1 \(\ge\)1 >0 ( do (x-3)² >=0 với mọi x)

=> x²6x+10 >0 với mọi x

4x-x²-5

=-(x²-4x+5)

=- (x²-2.2x+4+1)

= - ((x-2)²+1) = -(x-2)²-1\(\le\)-1 < 0 ( do (x-2)²\(\ge\)0 với mọi x => - (x-2)²\(\le\)0 với mọi x)

vậy, 4x-x²-5<0 với mọi x

Ta có : x² - 6x + 10 

= x² - 6x + 9 + 1 

= (x - 3)² + 1

Mà (x - 3)² \(\ge0\forall x\)

Nên : (x - 3)² + 1 \(\ge1\forall x\)

=> (x - 3)² + 1 \(>0\)(đpcm)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương, ta có:

\(18x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{18x.\frac{2}{x}}=12\)

Chứng minh tương tự, ta có

\(18y+\frac{2}{y}\ge12\)

\(18z+\frac{2}{z}\ge12\)

Từ đó suy ra \(18\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge36\)(*)

Lại có \(x+y+z\le1\Rightarrow-\left(x+y+z\right)\ge-1\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(18\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(x+y+z\right)\ge36-1\)

                           \(\Leftrightarrow17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)

Vậy \(17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)với \(x+y+z\le1\)