Cho góc vuông xOyˆ, một điểm M cố định nằm trong tam giác đó, D là 1 đường thẳng quay quanh cắt cạnh Ox, Oy theo thứ tự từ A và B ( khác O). Xác định vị trí của D sao cho:
a) Tam giác OAB có S nhỏ nhất.
b) OA + OB nhỏ nhất.
Cho góc vuông xOyˆ, một điểm M cố định nằm trong tam giác đó, d là 1 đường thẳng quay quanh cắt cạnh Ox, Oy theo thứ tự từ A và B ( khác O). Xác định vị trí của d sao cho:
a) Tam giác OAB có S nhỏ nhất.
b) OA + OB nhỏ nhất.
Kẻ MH; MK lần lượt vuông góc với Ox; Oy. Đặt MH = b; MK = a; HA = m; KB = n
+) Tam giác BKM đồng dạng với tam giác MHA (g- g) => BK / KM = MH / HA => n/a = b/ m => ab = m.n
a) S(AOB) = OA.OB/ 2
Ta có: OA = a + m ; OB = b + n
=> OA. OB = (a + m).(b + n) = ab + an + bm + mn = (ab + mn) + (an + bm)
= 2ab + (an + bm) \(\ge\) 2ab + \(2\sqrt{an.bm}\) = 2ab + \(2\sqrt{\left(ab\right)^2}\) = 4ab = hằng số ( M cố định nên a.b = MK.MH không đổi)
Dấu "=" xảy ra <=> an = bm => (an)2 = an.bm = (ab).(mn) = (mn)2 => a = m => H là trung điểm của OA
Vậy S(AOB) nhỏ nhất bằng 4ab khi H là trung điểm của OA
=> Vị trí đường thẳng d: d đi qua M và A, trong đó: A thuộc Ox sao cho H là trung điểm của OA
b) OA + OB = a + m + b + n = (a+ b) + (m + n) \(\ge\) a+ b + \(2\sqrt{mn}\) = a+ b + \(2\sqrt{ab}\) = \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\) (vì m.n = ab)
Dấu "=" xảy ra <=> m = n => ab = n2
vậy OA + OB nhỏ nhất bằng \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\) khi n2 = ab
+) Xác định vị trí của d sao cho n2 = ab = KB2
Cách dựng:
- Dựng đường tròn đường kính OK
- Trên đoạn OK , dựng KD = a. Qua D kẻ đường vuông góc với OK cắt đường tròn đường kính OK tại P
- Dựng đường tròn tâm K , bán kính KP cắt Oy tại B
- Đường thẳng đi qua B và M chính là đường thẳng d cần xác định
Chứng minh: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OPK có: KP2 = KD. KO = a.b
Mà KP = KB = n => n2 = ab
Vậy....
cho góc xOy khác góc bẹt và 1 điểm M nằm bên trong góc. Qua M kẻ đường thẳng d cắt cạnh Ox tại A và cắt Oy tại B. Tìm vị trí của điểm M để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất
cho góc xOy khác góc bẹt và 1 điểm M nằm bên trong góc. Qua M kẻ đường thẳng d cắt cạnh Ox tại A và cắt Oy tại B. Tìm vị trí của điểm M để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất
1) trong mp cho 4 điểm A, B, C, D nối các điểm đã cho ta đc 6 mp. CM: tỉ số đoạn lớn nhất và bé nhất trong chúng bé hơn \(\sqrt{2}\) ( ko 3 điểm nào bất kỳ thẳng hàng)
2)Cho góc vuông xOy và 1 điểm M cố định nằm trong góc vuông đó, D là 1 đường thẳng quay quanh M cắt Ox, Oy cắt nhau tại A,B ( C \(\ne\) 0). Xác định D sao cho:
a)tam giác OAB có Smin
b)OA+OB nhỏ nhất
Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định thỏa mãn OA = 2R. Một đường kính BC quay quanh O sao cho A, B, C không thẳng hàng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường OA ở P (khác A). Đường thẳng AB, AC cắt (O) ở điểm thứ hai là D và E. Nối DE cắt OA ở K. Chứng minh:
1) Các tam giác OPB, AOC đồng dạng và tứ giác PECK nội tiếp
2) AK.AP = AE.AC
3) Đường thẳng DE đi qua một điểm cố định
4) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua điểm cố định F từ đó suy ra vị trí CB để diện tích tứ giác ABPC lớn nhất
Cho góc xOy nhọn có điểm A cố định nằm trong góc đó. Xác định vị trí của B thuộc Ox, C thuộc Oy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất
Cho đoạn thẳng AB và điểm M cố định thuộc đường thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua M vẽ hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D. Xác định vị trí các điểm C và D sao cho diện tích tam giác MCD nhỏ nhất
Đặt AC = x; BD = y (x, y > 0)
Ta có \(\Delta ACM\sim\Delta BMD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AC}{MB}=\frac{AM}{BD}\)
\(\Rightarrow AC.BD=AM.MB=const\Rightarrow xy=c=const\)
\(S_{MCD}=S_{ACDB}-S_{ACM}-S_{MBD}=\frac{\left(x+y\right)\left(AM+MB\right)}{2}-\frac{x.AM}{2}-\frac{y.MB}{2}\)
\(=\frac{x.MB+y.AM}{2}\ge\sqrt{xy.MB.AM}=\sqrt{c^2}=c\)
Dấu bằng xảy ra khi x.MB = y.AM, lại có \(xy=MB.AM\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=AM\\y=MB\end{cases}}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S_{CMD}=c\left(đvdt\right)\) xảy ra khi AC = AM; BD = BM.
Cho đoạn thẳng AB và điểm M cố định thuộc đường thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua M vẽ hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D. Xác định vị trí các điểm C và D sao cho diện tích tam giác MCD nhỏ nhất
Em tham khảo tại link dưới đây nhé.
Câu hỏi của Linhllinh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Cho hình vuông EFGH . Một góc vuông xEy quay quanh E có cạnh Ex cắt các đường thẳng FG và GH theo thứ tự M và N cạnh EI cắt 2 đường thẳng trên P và Q .
a , Chứng minh tam giác EMQ và ENP là các tam giác vuông
b, Đường thẳng QM cắt NP Ở R . Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và QM . Tứ giác EKRI là hình gì ? Vì sao ?
c, Chứng minh 4 điểm F; H; K ; I thẳng hàng và đường thẳng IK cố định khi góc xEy quay quanh E