Bài 1. Cho đường tròn . Hãy lập phương trình tiếp tuyến với biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng một góc trong các trường hợp sau:
1/ .
2/ .
Bài 1. Cho đường tròn . Hãy lập phương trình tiếp tuyến với biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng một góc trong các trường hợp sau:
1/ \(\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10,\alpha=45^0;d:2x++y-4=0\)
2/ \(\left(C\right)x^2+y^2+4x-8y+10=0;cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{10}};d:x-3y+1=0\)
.
Ta có I(1;-1)⇒R=\(\sqrt{10}\)
Gọi tt có dạng là: Ax + By +c = 0
d(I;d)=\(\dfrac{\left|2-1+c\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=R\)⇒\(\left\{{}\begin{matrix}c=-1+5\sqrt{2}\\c=-1-5\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
cos45=\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)=\(\dfrac{\left|A2+B\right|}{\left(\sqrt{A^2+B^2}\right)\left(2^2+1\right)}\)\(\Leftrightarrow\)\(10\left(A^2+B^2\right)=4\left(2A+B\right)^2\)
⇒6\(A^2+16AB-6B^2\)=0
Chọn A=0⇒\(\left\{{}\begin{matrix}B=0\\B=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)pt tiếp tuyến : \(\dfrac{8}{3}y-1+5\sqrt{2}\) hoặc \(\dfrac{8}{3}-1-5\sqrt{2}\)
chọn B=0\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}A=0\\A=-\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)\(-\dfrac{8}{3}y-1-5\sqrt{2}\) hoặc \(-\dfrac{8}{3}y-1+5\sqrt{2}\)
chọn A=1\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}B=3\\B=\dfrac{-1}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)3y-1\(+5\sqrt{2}=0\) hoặc \(\dfrac{-1}{3}y-1-5\sqrt{2}=0\)
Cho đường tròn tâm O bán kính R, A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AE đến đường tròn O, E là tiếp điểm. Vẽ dây EH vuông góc AD tại M.
a, cho biết R=5cm, OM=3cm. Tính độ dài dây EH.
b, Chứng minh AH là tiếp tuyến đường tròn(O)
c, Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt AH tại B. Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn(O), F là tiếp điểm. Chứng minh ba điểm O,E,F thẳng hàng và BF.AE không đổi.
d, Trên tia HB lấy điểm I (I khác B). Qua I vẽ tiếp tuyến thứ 2 với đường tròn(O), cắt các đường thẳng BF, AE lần lượt tại C và D. Vẽ đường thẳng IF cắt AE tại Q. Chứng minh AE=DQ
cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. M là một điểm bất kì trên đường tròn đó ( M khác A và khác B). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn đã cho lần lượt tại C và D.
a) chứng minh rằng :
i) các tứ giác AOMC và BOMD nội tiếp
ii) OC vuông góc với OD và góc AOC = góc AMC = góc OBM = góc ODM.
b) trong trường hợp biết góc BAM = 60 độ. chứng minh rằng tam giác BDM đều và tính diện tích của hình quạt tròn chắn cung nhỏ MB của đường tròn đã cho theo R
a . i ) Vì CM,CA là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow CM\perp OM,CA\perp OA\Rightarrow CMOA\) nội tiếp đường tròn đường kính CO
Tương tự : = > DMOB nội tiếp
ii ) Vì CM,CA là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow OC\) là phân giác của \(\widehat{AOM}\)
Tương tự OD là phân giác \(\widehat{BOM}\)
Mà \(\widehat{AOM}+\widehat{MOB}=180^0\Rightarrow OC\perp OD\)
Ta có : CMOA , OBDM nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{AOC}=\widehat{AMC}=\widehat{ABM}=\widehat{OBM}=\widehat{ODM}\) vì CM là tiếp tuyến của (O)
b ) Ta có : \(\widehat{MAB}=60^0\Rightarrow\widehat{DMB}=\widehat{MAB}=60^0\) vì DM là tiếp tuyến của (O)
Mà \(DM=DB\Rightarrow\Delta DMB\) đều
Lại có : \(\widehat{MOB}=2\widehat{MAB}=120^0\)
\(\Rightarrow\frac{S_{MB}}{S_O}=\frac{120^0}{360^0}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow S_{MB}=\frac{1}{3}S_O=\frac{1}{3}.\pi.R^2\)
cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. M là một điểm bất kì trên đường tròn đó ( M khác A và khác B). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn đã cho lần lượt tại C và D.
a) chứng minh rằng :
i) các tứ giác AOMC và BOMD nội tiếp
ii) OC vuông góc với OD và góc AOC = góc AMC = góc OBM = góc ODM.
b) trong trường hợp biết góc BAM = 60 độ. chứng minh rằng tam giác BDM đều và tính diện tích của hình quạt tròn chắn cung nhỏ MB của đường tròn đã cho theo R
a) i) ta có \(\widehat{CAO}=\widehat{CMO}=90^0\)
=> tứ giác AOMC nội tiếp đường tròn đường kính OC
tương tự ta lại có \(\widehat{DBO}=\widehat{DMO}=90^0\)
=> tứ giác BOMD nội tiếp đường tròn đường kính OD
ii) Ta có \(\widehat{OBM}=\frac{1}{2}\widehat{AOM}\)( góc nội tiếp zà góc ở tâm cùng chắn 1 cung)
\(\widehat{AOC}=\frac{1}{2}\widehat{AOM}\)(t/c 2 đường tiếp tuyến cắt nhau )
=>\(\widehat{OBM}=\widehat{AOC}\)
=> \(OC//BM\)mà \(BM\perp OD\)(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
=>\(OC\perp OD\)(dpcm)
ta có \(\widehat{AOC}=\widehat{AMC}\left(1\right)\)( hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung AC của đường tròn đường kính OD )
\(\widehat{OBM}=\widehat{ODM}\left(2\right)\)(hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung OM của đường tròn đường kính OD)
\(\widehat{AOC}=\widehat{OBM}\left(3\right)\left(cmt\right)\)
zậy từ 1 ,2 ,3 => góc AOC= góc AMC = góc OBM = góc ODM
b)+) \(\widehat{BAM}=\widehat{BMD}=60^0\)( góc nội tiếp zà góc giữa 1 tia tiếp tuyến zà một dây cung cùng chắn 1 cung)
mà tam giác DBM cân tại D ( t/c 2 tiếp tuyến cát nhau )
=> tam giác DBM đều (dpcm)
+)\(\widehat{BOM}=2\widehat{BAM}=120^0\)( góc nội tiếp zà góc ở tâm cùng chắn 1 cung )
gọi S là diện tích cần tìm
\(=>S=\frac{\pi R^2120}{360}=\frac{\pi R^2}{3}\)(đơn zị diện tích )
Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C trên đường tròn. Từ O kẻ một đường thẳng song song với dây AC , đường thẳng này ćt tiếp tuyến tại B của đường tròn tại điểm D.
a) Chứng minh OD là phân giác của góc BOC
b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn
hai đường tròn tâm (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau. đường thẳng chứa tiếp tuyến chung của 2 đường tròn này cắt đường nối tâm của chúng theo một góc 30 độ. biết độ dài đoạn tiếp tuyến chung giữ 2 tiếp điểm là 108cm. tính độ dài bán kính cửa mỗi đường tròn. trình bày sơ lược lời giải
Bài 1: Cho đường tròn (O;R),đượng kính AB,qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến d và d' với đường tròn (O) , một đường thẳng qua O cắt d ở M, cắt d' ở P.Từ O vẽ một đường vuông góc với MP và cắt d' tại N
a) Cm ON=OP và △NMP cân
b)Cm AN.BN=R2
c) Cm AB là tiếp tuyến của đường tròn,đường kính MN
d)M di chuyển trên đường thẳng d,tìm vị trí của M để Stứ giác AMNB là nhỏ nhất
Cho đường tròn (O;R), một dây AB (AB < 2R) có trung điểm là H. Trên tia đối của tia BA lấy 1 điểm M và qua M kẻ các tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C và D là các tiếp điểm). Đường thẳng CD cắt các đường thẳng MO; OH lần lượt tại E và F.
a) CM góc CMD bằng 60 độ.
b) chứng minh OE.OM = R^2 và OH.OF = OE.OM
Cho đường tròn (O;R), một dây AB (AB < 2R) có trung điểm là H. Trên tia đối của tia BA lấy 1 điểm M và qua M kẻ các tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C và D là các tiếp điểm). Đường thẳng CD cắt các đường thẳng MO; OH lần lượt tại E và F. a) cho góc CMD bằng 60 độ. Tính độ dài cung nhỏ CD và diện tích hình quạt tạo bởi cung nhỏ CD của đường tròn (O) theo R. b) chứng minh OE.OM = R^2 và OH.OF = OE.OM