Sao em bảo đề không sai mà lại sửa lại thế này :D.  Em mà viết đề đúng ngay từ đầu thì có đỡ mất thời gian cho bao nhiêu người không?

Lời giải như sau: Kí hiệu \(n!=1\cdot2\cdots n\)  là tích \(n\)  số nguyên dương đầu tiên. Khi đó ta sẽ có

Tử số bằng  \(\left(2\cdot1\right)\left(2\cdot3\right)\left(2\cdot5\right)\cdots\left(2\cdot\left(2n-1\right)\right)=2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdots\left(2n-1\right).\)

Mẫu số bằng \(\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\left(n+5\right)\cdots\left(2n\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}=\frac{\left(2n\right)!}{n!}\cdot\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}\).

Suy ra \(a_n=\frac{2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdots\left(2n-1\right)}{\left(2n\right)!}\cdot n!\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)

\(=\frac{2^n\cdot n!}{\left(2\cdot1\right)\left(2\cdot2\right)\cdots\left(2\cdot n\right)}\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\).

Cuối cùng ta có  \(a_n=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)

\(=\left(n^2+5n+4\right)\left(n^2+5n+6\right)+1=y\left(y+2\right)+1=\left(y+1\right)^2\)

ở đó \(y=n^2+5n+4\) là số nguyên. Vậy \(a_n\) là số chính phương.

Vừa post xong

Lời giải như sau: Kí hiệu \(n!=1\cdot2\cdots n\)  là tích \(n\)  số nguyên dương đầu tiên. Khi đó ta sẽ có

Tử số bằng  \(\left(2\cdot1\right)\left(2\cdot3\right)\left(2\cdot5\right)\cdots\left(2\cdot\left(2n-1\right)\right)=2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdots\left(2n-1\right).\)

Mẫu số bằng \(\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\left(n+5\right)\cdots\left(2n\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}=\frac{\left(2n\right)!}{n!}\cdot\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}\).

Suy ra \(a_n=\frac{2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdots\left(2n-1\right)}{\left(2n\right)!}\cdot n!\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)

\(=\frac{2^n\cdot n!}{\left(2\cdot1\right)\left(2\cdot2\right)\cdots\left(2\cdot n\right)}\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\).

Cuối cùng ta có  \(a_n=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)

\(=\left(n^2+5n+4\right)\left(n^2+5n+6\right)+1=y\left(y+2\right)+1=\left(y+1\right)^2\)

ở đó \(y=n^2+5n+4\) là số nguyên. Vậy \(a_n\) là số chính phương.

Tại sao chỗ công thức toán lại bị mất vậy ạ?

Em làm như sau nhé :)

Ta có: \(a_n=\frac{2^n.1.3.5...\left(2n-1\right)\left(n+4\right)!}{\left(2n\right)!}+1\)

\(a_n=\frac{2^n\left(n+4\right)!}{2.4.6...2n}+1=\frac{2^n.1.2.3...\left(n+4\right)}{2^n.1.2.3.4...n}\)

\(a_n=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1=\left(n^2+5n+4\right)\left(n^2+5n+6\right)+1=\left(n^2+5n+5\right)^2\)

\(\Rightarrow a_n=\frac{2.6.10...\left(4n-2\right)}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\text{ là SCP}\)

Chúc em học tốt nhé :)

Ta có: \(a_n=1+\frac{2^n\left[1.3.5...\left(2n-1\right)\right]}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\)

\(=1+\frac{2^n\left(2n\right)!}{\left[2.4.6..\left(2n\right)\right]\left[\left(n+5\right)\left(n+6\right)..\left(2n\right)\right]}\)

\(=1+\frac{\left(2n\right)!}{n!\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\)

\(=1+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\)

mặt khác \(1+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)=\left(n^2+5n+5\right)^2\)

do đó a_n luôn là SCP

\(n\ge6\)