a+b+c=0

=>(a+b+c)³=0

=>a³+b³+c³+3a²b+3ab²+3b²c+3bc²+3a²c+3ac²+6abc=0

=>a³+b³+c³+(3a²b+3ab²+3abc)+(3b²c+3bc²+3abc)+(3a²c+3ac²+3abc)-3abc=0

=>a³+b³+c³+3ab(a+b+c)+3bc(a+b+c)+3ac(a+b+c)=3abc

Do a+b+c=0

=>a³+b³+c³=3abc(ĐPCM)

\(ab+bc+ca=3abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)

Đặt \(\dfrac{1}{a}=x;\dfrac{1}{b}=y;\dfrac{1}{c}=z\)\(\Rightarrow x+y+z=3\)

\(VT=\sum\dfrac{xyz}{yz+x^2}\le\sum\dfrac{xyz}{2x\sqrt{yz}}=\dfrac{1}{2}\sum\sqrt{yz}\le\dfrac{1}{2}\sum x=\dfrac{3}{2}\)

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=\left(a+b+c\right)^3\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

Nhưng theo mình thấy a^3+b^3+c^3 không thể đổi thành (a+b+c)^3

Xin lỗi! Bây giờ nhìn lại thì thấy cậu ấy đúng rồi! Hihi!

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)^3\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

Đặt A = a³ + b³ + c³ - 3abc

 (đpcm)

A = a3 + b3 +c3 -3abc thành nhân tử.

Lời giải:

Từ (a+b)3= a3 + 3a2b +3ab2 + b3

= a3 + b3 + 3ab (a+b)

Ta suy ra: a3 + b3 = (a+b)3 - 3ab (a+b) (1)

áp dụng hằng đẳng thức (1) vào giải bài toán ta có:

A = (a3 + b3) + c3 - 3abc

= (a+b)3 - 3ab (a+b) + c3 - 3abc

= (a+b)3 + c3 - 3ab (a+b) - 3abc

 = (a+b+c) (a2 +2ab + b2 -ac - bc + c2 - 3ab)

= (a+b+c) (a2+ b2 +c2 -ab - bc - ac) (*)

Biến đổi vế trài ta có

a³+b³+c³-3abc+3ab(a+b)-3ab(a+b)

=(a+b)(a²-ab+b²)-3ab(a+b+c)+3ab(a+b)+c³

=(a+b)(a+b)²+c³-3ab(a+B+c)

=......................

Bn cứ nhóm lại là = vế phải.

bạn thiếu dấu cộng giữa b² và c² vì vậy vế phải là (a+b+c)(a²+b²+c² -ab-bc-ac)

Ta có : a³+b³+c³ -3abc = (a+b)³ -3ab(a+b)+c³ -3abc = (a+b)³ +c³  -3ab(a+b+c)

                                   =(a+b+c)³ -3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b+c)

                                   =(a+b+c)((a+b+c)²-3(ac+bc)-3ab)

                                   =(a+b+c)(a²+b²+c² +2ab +2ac +2bc -3ab -3bc -3ac )

                                   =(a+b+c)(a²+b² +c²-ab-bc-ac)=vp (đpcm)

Có: a3+b3+c3−3abc

=a3+3a2b+3ab2+b3+c3−3a2b−3ab2−3abc

=(a+b)3+c3−3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+2ab+b2−(a+b)c+c2)−3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2+2ab−ac−bc−3ab)

=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc)(đpcm)

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3a^2.b-3a.b^2-3abc=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)=(a+b+c).[(a+b)^2-c.(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c).(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

VT = a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc

= (a + b)(a² + 2ab + b² - 3ab) + c³ - 3abc

= (a + b)³ - 3ab(a + b) + c³ - 3abc

= (a + b+ c)[(a + b)² - c(a + b) + c²] - 3ab(a + b+  c)

= (a + b + c))(a² + 2ab + b² - ac - bc + c² - 3abc)

= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) = VP

=> ĐPCM

Sửa đề :

VP= (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

     =a³+ab²+ac²-a²b-abc-ca²+ba²+b³+bc²-ab²-b²c-abc+ca²+cb²+c³-abc-bc²-c²a

     =a³+b³+c³-3abc

Cách này đỡ phức tạp hơn cách của edogawa conan

Biến đổi VP thì dễ hơn -.-

Sửa đề như anh Sơn :> 

VP = ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - bc - ca )

      = a( a² + b² + c² - ab - bc - ca ) + b( a² + b² + c² - ab - bc - ca ) + c( a² + b² + c² - ab - bc - ca )

      = a³ + ab² + ac² - a²b - abc - ca² + a²b + b³ + bc² - ab² - b²c - abc + ca² + cb² + c³ - abc - bc² - c²a

      = a³ + b³ + c³ - 3ab = VT ( đpcm )