(1-1/3).(1-1/5).(1-1/7).(1-1/9).(1-1/11).(1-1/13).(1-1/2).(1-1/4).(1-1/6).(1-1/8).(1-1/10)

=2/3.4/5.6/7.8/9.10/11.12/13.1/2.3/4.5/6.7/8.9/10

=8/15.48/63.120/143.3/8.35/48.9/10

=384/945.360/1144.315/480

=138240/1081080.315/480

=43545600/518918400=84/1001

khó quá

\(\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{7}\right)\)    \(\left(1-\frac{1}{11}\right)\)\(\left(1-\frac{1}{13}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{6}\right)\)
 \(=1.\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right).\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{4}\right).\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{6}\right)\)\(.\left(\frac{1}{11}-\frac{1}{10}\right).\frac{1}{13}\)
  \(=1.1.1.1.1.\frac{1}{13}\)
   \(=\frac{1}{13}\)
Cái này là chỉ do mình nghĩ thôi, ko biết đúng ko nữa
Có sai cko mình sorry nha!
Tk và kb hộ mình  với! thanks 

\(\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)...\left(1+\frac{1}{2015}\right)\)

\(=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\cdot...\cdot\frac{2016}{2015}\)

\(=\frac{2016}{2}\)

\(=1008\) 

Chúng ta hãy tính toán \ int \ cos ^ n xdx trong đó n là một số nguyên dương. Trong bảng sau, cột đầu tiên biểu diễn \ cos ^ {n-1} x và dẫn xuất của nó, và cột thứ hai đại diện cho \ cos x và tích phân của nó. 
$$ \ begin {array} {ccc} 
\ cos ^ {n-1} x & & \ cos x \\ 
& \ stackrel {+} {\ searrow} & \\ 
- (n-1) \ cos ^ {n-2} x \ sin x & \ stackrel {-} {\ longrightarrow} & \ sin x \\ 
\ end {array} $$ 
Bằng cách tích hợp theo các bộ phận , chúng tôi có 
\ begin {align *} 
\ int \ cos ^ n xdx & = \ cos ^ {n-1} x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} x \ sin ^ 2xdx \\ 
(n-1) x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} xdx- (n-1) \ int \ cos ^ {n-1} xdx + C ' 
\ end {align *} 
trong đó C ' là hằng số. Giải quyết điều này với \ int \ cos ^ nxdx , chúng ta có được 
\ begin {equation} 
\ label {eq: cosred} 
\ int \ cos \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ C 
\ end {equation} 
trong đó C = \ frac {C '} {n} . Công thức như \ eqref (eq: cosred) được gọi là công thức giảm .Tương tự, chúng ta có các công thức giảm dưới đây. 
\ begin {align} 
\ int \ sin ^ n xdx & = - \ frac {1} {n} \ sin ^ {n-1} x \ cos x + \ frac {n-1} {n} \ int \ sin ^ {n-2} dx \\ 
\ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ 
\ int \ sec ^ nxdx & = \ frac {1} {n-1} \ sec ^ {n-2} x \ tan x + \ frac {n-2} {n-1} \ int \ sec ^ {n-2 } xdx, \ n \ ne 1 
\ end {align} 
Ví dụ . Sử dụng công thức giảm \ eqref {eq: cosred} để đánh giá \ int \ cos ^ 3xdx .

Giải pháp . 
\ begin {align *} 
\ int \ cos ^ 3xdx & = \ frac {1} {3} \ cos ^ 2x \ sin x + \ frac {2} {3} \ int \ cos xdx \\ 
\ frac {2} {3} \ sin x + C, 
\ end {align *} 
trong đó C là hằng số.

Tích hợp như ví dụ sau là khá phức tạp.

Ví dụ . Đánh giá \ int \ sec xdx .

Giải pháp . 
\ begin {align *} 
\ int \ sec xdx & = \ int \ sec x \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ sec x + \ tan x} dx \\ 
& = \ int \ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ sec x + \ tan x} dx \\ 
& = \ frac {du} {u} \ (\ mbox {substitution} \ u = \ sec + \ tan x) \\ 
& = \ ln | u | + C \\ 
& = \ ln | \ sec x + \ tan x | + C, 
\ end {align *} 
trong đó C là hằng số.

Ví dụ . Đánh giá \ int \ csc xdx .

Giải pháp . Nó có thể được thực hiện tương tự như ví dụ trước. 
\ begin {align *} 
\ int \ csc xdx & = \ int \ csc x \ frac {\ csc x + \ cot x} {\ csc x + \ cot x} dx \\ 
& = - \ ln | \ csc x + \ cot x | + C, 
\ end {align *} 
trong đó C là hằng số.Chúng ta hãy tính toán \ int \ cos ^ n xdx trong đó n là một số nguyên dương. Trong bảng sau, cột đầu tiên biểu diễn \ cos ^ {n-1} x và dẫn xuất của nó, và cột thứ hai đại diện cho \ cos x và tích phân của nó. 

$$ \ begin {array} {ccc} 
\ cos ^ {n-1} x & & \ cos x \\ 
& \ stackrel {+} {\ searrow} & \\ 
- (n-1) \ cos ^ {n-2} x \ sin x & \ stackrel {-} {\ longrightarrow} & \ sin x \\ 
\ end {array} $$ 
Bằng cách tích hợp theo các bộ phận , chúng tôi có 
\ begin {align *} 
\ int \ cos ^ n xdx & = \ cos ^ {n-1} x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} x \ sin ^ 2xdx \\ 
(n-1) x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} xdx- (n-1) \ int \ cos ^ {n-1} xdx + C ' 
\ end {align *} 
trong đó C ' là hằng số. Giải quyết điều này với \ int \ cos ^ nxdx , chúng ta có được 
\ begin {equation} 
\ label {eq: cosred} 
\ int \ cos \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ C 
\ end {equation} 
trong đó C = \ frac {C '} {n} . Công thức như \ eqref (eq: cosred) được gọi là công thức giảm .Tương tự, chúng ta có các công thức giảm dưới đây. 
\ begin {align} 
\ int \ sin ^ n xdx & = - \ frac {1} {n} \ sin ^ {n-1} x \ cos x + \ frac {n-1} {n} \ int \ sin ^ {n-2} dx \\ 
\ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ 
\ int \ sec ^ nxdx & = \ frac {1} {n-1} \ sec ^ {n-2} x \ tan x + \ frac {n-2} {n-1} \ int \ sec ^ {n-2 } xdx, \ n \ ne 1 
\ end {align} 
Ví dụ . Sử dụng công thức giảm \ eqref {eq: cosred} để đánh giá \ int \ cos ^ 3xdx .

Giải pháp . 
\ begin {align *} 
\ int \ cos ^ 3xdx & = \ frac {1} {3} \ cos ^ 2x \ sin x + \ frac {2} {3} \ int \ cos xdx \\ 
\ frac {2} {3} \ sin x + C, 
\ end {align *} 
trong đó C là hằng số.

Tích hợp như ví dụ sau là khá phức tạp.

Ví dụ . Đánh giá \ int \ sec xdx .

Giải pháp . 
\ begin {align *} 
\ int \ sec xdx & = \ int \ sec x \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ sec x + \ tan x} dx \\ 
& = \ int \ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ sec x + \ tan x} dx \\ 
& = \ frac {du} {u} \ (\ mbox {substitution} \ u = \ sec + \ tan x) \\ 
& = \ ln | u | + C \\ 
& = \ ln | \ sec x + \ tan x | + C, 
\ end {align *} 
trong đó C là hằng số.

Ví dụ . Đánh giá \ int \ csc xdx .

Giải pháp . Nó có thể được thực hiện tương tự như ví dụ trước.  
\ begin {align *} 
\ int \ csc xdx & = \ int \ csc x \ frac {\ csc x + \ cot x} {\ csc x + \ cot x} dx \\ 
& = - \ ln | \ csc x + \ cot x | + C, 
\ end {align *} 
trong đó C là hằng số.

\(\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)....\left(1+\frac{1}{2015}\right)\)

\(=\frac{3}{2}.\frac{4}{3}.\frac{5}{4}....\frac{2016}{2015}=\frac{3.4.5.6...2016}{2.3.4.5...2015}=\frac{2016}{2}=1008\)

\(A=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right).....\left(1-\frac{1}{102}\right)\)

\(A=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}.....\frac{101}{102}=\frac{1}{102}\)

\(B=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{2016}}{\frac{2015}{1}+\frac{2014}{2}+...+\frac{1}{2015}}=\frac{C}{D}\)

Ta có: \(D=\frac{2015}{1}+\frac{2014}{2}+...+\frac{1}{2015}\)(có 2015 số hạng)

          \(D=\left(\frac{2015}{1}+1\right)+\left(\frac{2014}{2}+1\right)+...+\left(\frac{1}{2015}+1\right)-2015\)

          \(D=2016+\frac{2016}{2}+\frac{2016}{3}+...+\frac{2016}{2015}-2015\)

          \(D=\frac{2016}{2}+\frac{2016}{3}+...+\frac{2016}{2015}+1=\frac{2016}{2}+\frac{2016}{3}+...+\frac{2016}{2015}+\frac{2016}{2016}\)

          \(D=2016\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2015}+\frac{1}{2016}\right)=2016C\)

Vậy \(B=\frac{C}{D}=\frac{C}{2016C}=\frac{1}{2016}\)

\(A=\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdot....\cdot\left(1-\frac{1}{102}\right)\)

\(A=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{101}{102}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot....\cdot101}{2\cdot3\cdot4\cdot....\cdot102}\)

\(A=\frac{1}{102}\)

\(B=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}}{\frac{2015}{1}+\frac{2014}{2}+...+\frac{1}{2015}}\)

\(B=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}}{\left(\frac{2015}{1}+1\right)+\left(\frac{2014}{2}+1\right)+...+\left(\frac{1}{2015}+1\right)+1}\)

\(B=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}}{\frac{2016}{1}+\frac{2016}{2}+...+\frac{2016}{2015}+\frac{2016}{2016}}\)

\(B=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}}{2016\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}\right)}=\frac{1}{2016}\)