\(b^4+c^4\ge bc\left(b^2+c^2\right)\)vì \(\left(b-c\right)^2\left(b^2+bc+c^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow T\le\frac{a}{\frac{b^2+c^2}{a}+a}+\frac{b}{\frac{a^2+c^2}{b}+b}+\frac{c}{\frac{a^2+b^2}{c}+c}=1\)

rõ đi bạn

mới lớp 7 a ới

  Đã xảy ra lỗi rồi. Bạn thông cảm vì sai sót này.

  Ta có:  

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm 

   trong đó với     , ta có:

Tương tự, ta có:

Cộng ba bất đẳng thức     và   , ta được:

Khi đó, ta chỉ cần chứng minh

Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh được quy về dạng sau:    (bất đẳng thức Cauchy cho ba số   )

Hay       

Mà    đã được chứng minh ở câu    nên    luôn đúng với mọi  

Dấu    xảy ra    

Vậy,       

Đặt b+c-a=x

c+a-b=y                           (x,y,z>0)

a+b-c=z

rồi rút a,b,c theo x,y,z.

AD Svacso 

Đặt: x = b + c - a 

y = c + a - b 

z = a + b - c 

=> x + y + z = a + b + c = 2 

=> \(a=\frac{y+z}{2}\); \(b=\frac{x+z}{2}\); \(c=\frac{x+y}{2}\)

=> \(S=\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x}+\frac{4z+4x}{y}+\frac{9x+9y}{z}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{2-x}{x}+\frac{8-4y}{y}+\frac{18-9z}{z}\right)\)

\(=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}-7\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}-7=11\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}=\frac{1+2+3}{x+y+z}=3\)

=> x = 1/3; y = 2/3; z = 1 

=> a = 5/6; b = 2/3; c = 1/2

Vậy min S = 11 đạt tại  a = 5/6; b = 2/3 ; c = 1/2

Cách em ko khác cô Chi. Nhưng đỡ phải đặt ạ

\(\frac{a}{b+c-a\:}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}+14\)

\(=\frac{B+C}{A}+\frac{4\left(C+A\right)}{B}+\frac{9\left(A+B\right)}{C}\)

\(\frac{2-A}{A}+\frac{8-4B}{B}+\frac{18-9C}{C}\)

\(=2\left(\frac{1}{A}+\frac{4}{B}+\frac{9}{C}\right)-14\)

\(\ge2.\frac{36}{A+B+C}-14=22̸\)

Em thấy mik nhqàm đâu đó ạ

Bài 1 :

a ) Vì tam giác ABC có chu vi bằng 24 

=> AB + AC + BC = 24

hay a + b + c = 24

Vì 3 cạnh của tam giác ABC tỉ lệ với 3,4,5 

=> a/3 = b/4 = c/5

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

a/3 = b/4 = c/5 = ( a + b + c ) / ( 3 + 4 + 5 ) = 24/12 = 2

=> a = 6 ; b = 8 ; c = 10

b ) Vì a = 6 => a² = 36

          b = 8 => b² = 64

          c = 10 => c² = 100

MÀ 100 = 36 + 64 hay c² = a² + b²

Xét tam giác ABC có  c² = a² + b² ( cmt )

=> tam giác ABC là tam giác vuông ( định lí đảo định lí pytago )

Vậy ...

Bài 2 :

Đặt a/b = c/d = t ( t khác 0 ) => a = bt ; c = dt

Khi đó :

\(\frac{5a+5b}{5b}=\frac{5bt+5b}{5b}=\frac{5b\left(t+1\right)}{5b}=t+1\)( 1 )

\(\frac{c^2+cd}{cd}=\frac{\left(dt\right)^2+dtd}{dtd}=\frac{d^2t^2+d^2t}{d^2t}=t+1\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có dpcm

b ) ( chứng minh tương tự )

cho A=1+2⁺2^2+.........+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰.Tìm số dư khi chia a cho 7

áp dụng bô đề \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\frac{1}{m-2a}+\frac{1}{m-2b}\ge\frac{4}{\left(m-2a\right)+\left(m-2b\right)}=\frac{4}{2\left(m-a-b\right)}=\frac{2}{c}\)

tương tư \(\frac{1}{m-2b}+\frac{1}{m-2c}\ge\frac{2}{a}\)

\(\frac{1}{m-2a}+\frac{1}{m-2c}\ge\frac{2}{b}\)

cong các bdt tren ta co \(2\left(\frac{1}{m-2a}+\frac{1}{m-2b}+\frac{1}{m-2c}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow dpcm\)

1.

Áp dụng công thức trung tuyến:

\(m_b^2+m_c^2=\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{4}+\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{4}\)

\(=\dfrac{4a^2+b^2+c^2}{4}\)

\(=\dfrac{9a^2+b^2+c^2-5a^2}{4}\)

\(=\dfrac{9\left(b^2+c^2\right)+b^2+c^2-5a^2}{4}\)

\(=5\left(\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}\right)=5m_a\)

2) TA CÓ 1/2²-1=(1/2-1)x(1/2+1)=-1/2x3/2

1/3²-1=(1/3-1)x(1/3+1)=-2/3X4/3..............1/99²-1=(1/99-1)(1/99+1)=-98/99x100/99;1/100²-1=(1/100-1)x(1/100+1)=-99/100x101/100

ta có A=-(1/2x2/3x.....98/99x99/100)x(3/2x4/3x......x100/99x101/100)=-1/100x101/2=-101/50<-1/2

TA CÓ 1/2²-1=(1/2-1)X(1/2+1)=-1/2X3/2 ;1/3²-1=(1/3-1)X(1/3+1)=-2/3X4/3.....................

1/99²-1=(1/99-1)X(1/99+1)=-98/99X100/99 ;1/100²-1=(1/100-1)X(1/100+1)=99/100X101/100

VẬY A=-(1/2X2/3X.......X98/99X99/100)X(3/2X4/3X....X100/99X101/100)=-101/50<-1/2