Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AM,BM,CM cắt BC,CA,AB lần lượt tại A1,B1,C1
Tìm vị trí của M để \(P=\frac{MA}{MA_1}.\frac{MB}{MB_1}.\frac{MC}{MC_1}\) nhỏ nhất
Từ điểm M tùy ý trong \(\Delta ABC\), các đường thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt BC, CA, AB tại A1,B1,C1. Chứng minh rằng \(\frac{MA_1}{AA_1}+\frac{MB_1}{BB_1}+\frac{MC_1}{CC_1}=1\)
Gọi MK và AH lần lượt là đường cao của các tam giác MBC và tam giác ABC.
Dễ thấy : AH // MK => \(\frac{MK}{AH}=\frac{MA_1}{AA_1}\)
Ta có : \(\frac{MA_1}{AA_1}=\frac{MK}{AH}=\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}\) (1) . Tương tự : \(\frac{MB_1}{BB_1}=\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}\left(2\right)\) ; \(\frac{MC_1}{CC_1}=\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}\left(3\right)\)
Cộng (1) , (2) , (3) theo vế được : \(\frac{MA_1}{AA_1}+\frac{MB_1}{BB_1}+\frac{MC_1}{CC_1}=\frac{S_{MBC}+S_{MAC}+S_{MAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Vậy \(\frac{MA_1}{AA_1}+\frac{MB_1}{BB_1}+\frac{MC_1}{CC_1}=1\) (đpcm)
Từ điểm M tùy ý trong \(\Delta ABC\), các đường thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt BC, CA, AB tại A1,B1,C1. Chứng minh rằng \(\frac{MA_1}{AA_1}+\frac{MB_1}{BB_1}+\frac{MC_1}{CC_1}=1\)
Cho tam giác ABC, M trong tam giác; các đường thẳng AM,BM,CM lần lượt cắt các cạnh BC, AC,AB tại A1;B1;C1
Xác định vị trí M để tổng \(\sqrt{\frac{AM}{A_1M}}+\sqrt{\frac{BM}{B_1M}}+\sqrt{\frac{CM}{C_1M}}\) đạt GTNN
Ta có: \(\sqrt{\frac{AM}{A_1M}}+\sqrt{\frac{BM}{B_1M}}+\sqrt{\frac{CM}{C_1M}}=\sqrt{\frac{S_2+S_3}{S_1}}+\sqrt{\frac{S_1+S_3}{S_2}}+\sqrt{\frac{S_1+S_2}{S_3}}\)
\(\ge\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}\right)^2}{2S_1}}+\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_3}\right)^2}{2S_2}}+\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}\right)^2}{2S_3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}}{\sqrt{S_1}}+\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_3}}{\sqrt{S_2}}+\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_3}}\right)\frac{1}{2}\cdot6=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi S1 =S2=S3 <=> M là trọng tâm \(\Delta ABC\)
Cho tam giác ABC, trực tâm H. M là điểm nằm trong tam giác. AM cắt BC tại A', BM cắt BC tại B', CM cắt AB tại C'.
CMR: \(\frac{AM}{MA'}+\frac{BM}{MB'}+\frac{CM}{MC'}\ge6\)
Đặt \(S_{AMB}=a;S_{BMC}=b;S_{CMA}=c\)
Ta có \(\frac{AM}{MA'}+\frac{BM}{MB'}+\frac{MC}{MC'}=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)=\(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\ge6\)(cô-si)
Cho tam giác ABC. gọi A1, B1, C1 là hình chiếu của A, B, C trên BC, CA, AB. Tìm điểm M trong tam giác ABC sao cho \(\frac{BC}{MA_1}+\frac{CA}{MB_1}+\frac{AB}{MC_1}\) nhỏ nhất
cho tam giác ABC,M là điểm tùy ý nằm trong tam giác.Đường thẳng qua M và trọng tâm G của tam giác cắt BC,CA,AB lần lượt tại A1,B1,C1.Chứng minh rằng \(\frac{MA1}{GA1}+\frac{MB1}{GB1}+\frac{MC1}{GC1}=3\)
Cho tam giác ABC, G là trọng tâm, M là một điểm nằm trong tam giác \(\left(M\ne G\right)\) . Đường thẳng MG cắt các đường thẳng AB, BC, CA lần lượt tại C', A', B'. Chứng minh rằng: \(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\)
TA CÓ
\(\frac{MC,}{GC,}=\frac{S\Delta AMB}{S\Delta AGB}\left(1\right)\)
\(\frac{MB,}{GB,}=\frac{S\Delta AMC}{S\Delta AGC}\left(2\right)\)
DỰNG GH VÀ MD VUÔNG GÓC VỚI BC
AD ĐỊNH LÍ TA LÉT
=>\(\frac{MD}{GH}=\frac{MA,}{GA,}\)
MẶT KHÁC \(\frac{MD}{GH}=\frac{S\Delta BMC}{S\Delta BGC}\)
=> \(\frac{MA,}{GA,}=\frac{S\Delta BMC}{S\Delta BGC}\left(3\right)\)
TỪ 1 ,2,3
=> \(\frac{MA,}{GA,}+\frac{MB,}{GB,}+\frac{MC,}{GC,}=\frac{S\Delta AMB+S\Delta BMC+S\Delta AMC}{\frac{1}{3}S\Delta ABC}=\frac{3SABC}{SABC}=3\)
Giúp mình !!!!!!!!
1. Tam giác ABC với D,E,F lần lượt thuộc cạnh BC,CA,AB sao cho AD,BE,CF đồng quy tại M. chứng minh \(\frac{DM}{AD}+\frac{FM}{CF}+\frac{EM}{BE}=1\)
2. Tam giác ABC với M tùy ý nằm trong tam giác. Đường thẳng đi qua M và trọng tâm G của tam giác cắt BC,CA,AB lần lượt tại A',B',C'. chứng minh: \(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\)
3. Tam giác nhọn ABC, phân giác AD. M,N lần lượt là hình chiếu của D trên AC,AB, P là giao điểm BM, CN. chứng minh AP vuông góc BC
Cho tam giác ABC có O là trọng tâm tam giác ABC. M nằm trong tam giác. Đường thẳng MO cắt BC, CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1. CM MA1/OA1 + MB1/OB1 + MC1/OC1 không đổi