\(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{C}{2}\Rightarrow tan\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}\right)=tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{C}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2}}{1-tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}}=cot\dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{tan\dfrac{C}{2}}\)

\(\Rightarrow tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{C}{2}+tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}=1-tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}\)

\(\Rightarrow tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}+tan\dfrac{C}{2}tan\dfrac{A}{2}=1\)

Ta có:

\(tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{C}{2}\ge\sqrt{3\left(tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}+tan\dfrac{C}{2}tan\dfrac{A}{2}\right)}=\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(A=B=C\) hay tam giác ABC đều

 Bài làm:

a, Xét △MBC và △MNC

Có: CB = CN (gt)

    MCB = ACM (gt)

   MC là cạnh chung

.=> △MBC = △MNC (c.g.c)

b, Gọi { I } = MC ∩ BN

Xét △NIC và △BIC

Có: CN = CD (gt)

     NCI = ICB (gt)

    IC là cạnh chung

=> △NIC = △BIC

=> NIC = BIC (2 góc tương ứng)

Mà NIC + BIC = 180^o (2 góc kề bù)

=> NIC = BIC = 180^o : 2 = 90^o

=> IC ⊥ BN

Mà { I } = MC ∩ BN

=> MC ⊥ BN (đpcm)

c, Giả sử BNM = 30^o 

Vì △MBC = △MNC (cmt)

=> MBC = MNC (2 góc tương ứng)

Mà MBC = 90^o

=> MNC = 90^o

Xét △INM vuông tại I có: MNI + IMN = 90^o (tổng 2 góc nhọn trong 1 tam giác)

=> 30^o + IMN = 90^o => IMN = 60^o

Xét  △MNC vuông tại N có: NMC + MCN = 90^o  (tổng 2 góc nhọn trong 1 tam giác)

=> 60^o + MCN = 90^o => MCN = 30^o

Mà MCN = MCB = ACB/2

=> 2MCN = ACB

=> 2 . 30^o = ACB

=> 60^o = ACB

Vậy để BNM = 30^o <=> △ABC vuông tại B và ACB = 60^o

Tham Khảo

a)  Do P là trung điểm của DE (gt), Q là trung điểm của BE (gt) nên PQ là đường trung bình của tam giác BED, suy ra PQ=12BD, NP = 12CE.
Mặt khác          BD = CE (gt)
Do đó                MN = NP = PQ = QM
Vậy tứ giác MNPQ là hình thoi.
b)   Do PN // AC, PQ // AB nên 

a) Xét tam giác ABD và tam giác AED có :

AB = AE ( gt )

góc BAD = góc EAD ( gt )

AD chung

=> tam giác ABD = tam giác AED ( c-g-c )

=> BD = DE ( 2 c.t.ứ )

=> đpcm

b) Để tam giác ADB = tam giác ADC thì AB = AC

=> tam giác ABC cân tại A

c) Để DE vuông góc với AC thì góc AED = 90⁰

Mặt khác ta có : góc ABD = góc AED ( vì tam giác ABD = tam giác AED ) = 90⁰

=> AB vuông góc với BC

=> tam giác ABC vuông tại B

Bạn tự vẽ hình và GT;KL nhé!

Xét tam giác ABD và tam giác ADE có:

AB=AE(gt)

\(\widehat{BAD}=\widehat{DAE}\)(AD là tia phân giác góc BAC)

AD chung

Suy ra tam giác ABD= tam giác AED(c.g.c)

suy ra DB=DE(2 cạnh tương ứng)

b) Tam giác ABC cân tại A(vì khi đó E trùng C nên từ  tam giác ABD= tam giác AED ta có tam giác ADB = tam giác ADC)

c) Để DE vuông góc AC thì góc AED=90 độ mà tam giác ABD= tam giác AED nên góc ABD= góc AED=90 độ hay tam giác ABC vuông tại B

Chúc bạn học tốt!

Cho tam giác ABC với I là trung điểm của BC và tia phân giác của góc AIB cắt AB tại M và tia phân giác của góc AIC cắt N.Gọi O là giao điểm của MN và AI. a)CMR: OM=ON; b)Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để MN=AI; c)Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác AMIN là hình vuông

C-B-D

C

B

D

C

B

D