Cho tam giac ABC vuông CânTại A, lấy các điểm D,E,F trên AB,AC,BC sao cho DEF là tam giac vuông cân . tính diện tích tam giác def nhỏ nhất , biết AB=AC=a
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác ABC vuông cân tại A coa AB = AC = 10cm. Tam giác
vuông cân DEF nội tiếp tam giác ABC sao cho D,E,F lân lượt thuộc các cạnh
AB, BC, CA. Hãy xác định vị trí điểm D trên cạnh AB sao cho diện tích tam
giác DEF nhỏ nhất.
Các bạn giải giúp mình với:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. xác định tam giác DEF vuông cân tại D, nội tiếp tam giác ABC ( D,E,F lần lượt thuộc cạnh AB, BC, AC) sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất.
26 tháng 10 2019 lúc 22:47
cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a( a > 0 )cho trước và BC = 2AB. gọi tam giác DEF là nửa tam giác đều nội tiếp trong tam giác
ABC ( D trên BC ; E trên AC ; F trên AB và góc EDF vuông ).
tìm vị trí D,E,F để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất, tính theo a giá trị nhỏ nhất đó
Từ D Hạ đường cao DF' , DE' lần lượt lên AB; AC
=> Có: \(DE'\le DE;DF'\le DF\) với mọi vị trí D, E, F
=> \(S_{DEF}\le S_{DE'F'}\)
"=" xảy ra <=> E trùng E'; F trùng F'
AE'F'D là hình chữ nhật ( tự chứng minh )
Đặt: AF' = x; AE'=y
Có: \(AB=a;BC=2a=2.AB\)=> \(\Delta\)ABC vuông tại A có: \(\widehat{ACB}=30^o\)=> \(AC=a\sqrt{3}\)
=> \(BF'=a-x\); \(CE'=a\sqrt{3}-y\)
Dễ thấy: \(\Delta BF'D\approx\Delta DE'C\approx\Delta BAC\)
=> \(BD=2.\left(a-x\right)\); \(DC=\frac{\left(a\sqrt{3}-y\right)}{\sqrt{3}}.2\)
mà BD +DC =BC =2a
=> \(2\left(a-x\right)+\left(a-\frac{y}{\sqrt{3}}\right).2=2a\)
=> \(x+\frac{y}{\sqrt{3}}=a\)
Có diện tích DEF nhỏ nhất <=> D'E'F' nhỏ nhất <=> E'F' nhỏ nhất
=> \(E'F'^2=x^2+y^2=\frac{3}{4}\left(1^2+\frac{1}{3}\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{3}{4}\left(x+\frac{y}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{3}{4}.a^2=\frac{3}{4}a^2\)
=> \(E'F'\ge\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=y\sqrt{3}\\x+\frac{y}{\sqrt{3}}=a\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{4}a\\y=\frac{\sqrt{3}}{4}a\end{cases}}\)
=> Vậy vị trí : E cách A khoảng \(\frac{\sqrt{3}}{4}a\); F cách A khoảng \(\frac{3}{4}a\); D cách B khoảng \(2\left(a-\frac{3}{4}a\right)=\frac{a}{2}\)
=> \(S_{\Delta DEF}=\frac{1}{2}DE.DF=\frac{1}{2}AE.AF=\frac{1}{2}x.y=\frac{1}{2}.\frac{3a}{4}.\frac{\sqrt{3}a}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{32}a^2\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=2AB=2a. Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ tam giác DEF vuông tại D có E thuộc AC, F thuộc AB.
a, Tính số đo các góc tam giác DEF
b, Tính diện tích tam giác DEF theo DE
c, Khi diện tích tam giác DEF nhỏ nhất, tính độ dài cung EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=2AB=2a. Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ tam giác DEF vuông tại D có E thuộc AC, F thuộc AB.
a, Tính số đo các góc tam giác DEF
b, Tính diện tích tam giác DEF theo DE
c, Khi diện tích tam giác DEF nhỏ nhất, tính độ dài cung EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
Tam giác ABC vuông tại A có AB bằng 8 cm AC bằng 12 cm. Người ta lấy các điểm D, E, F trên các cạnh của tam giác sao cho CD = 1/2 BC BE= 1/4 AB; AF = 1/3 AC
Tính diện tích tam giác DEF
Xét EAF và EAC có:
+chung đường cao hạ từ e
+AF = 1/3 AC
=> S EAF= 1/3 S EAC
Xét EAC và ABC có:
+Chung đường cao hạ từ C
+AE=3/4 AB
=>S EAC =3/4 S ABC
=> S EAC= (1/3 x 3/4) S ABC = 1/4 S ABC
Tương tự
S BED =1/8 S ABC
S CDF=1/3 S ABC
=> S DEF= S ABC -S BED -S CDF
= S ABC -1/4 S ABC -1/8 S ABC -1/3 S ABC
= 7/24 S ABC
= 7/24 x 1/2 x AB x AC
= 7/24 x 1/2 x 8 x 12 =14 (cm^2)
Đúng 1
Bình luận (0)
Xét EAF và EAC có:
+chung đường cao hạ từ e
+AF = 1/3 AC
=> S EAF= 1/3 S EAC
Xét EAC và ABC có:
+Chung đường cao hạ từ C
+AE=3/4 AB
=>S EAC =3/4 S ABC
=> S EAC= (1/3 x 3/4) S ABC = 1/4 S ABC
Tương tự
S BED =1/8 S ABC
S CDF=1/3 S ABC
=> S DEF= S ABC -S BED -S CDF
= S ABC -1/4 S ABC -1/8 S ABC -1/3 S ABC
= 7/24 S ABC
= 7/24 x 1/2 x AB x AC
= 7/24 x 1/2 x 8 x 12 =14 (cm^2)
Đúng 1
Bình luận (0)
Tam giác ABC vuông tại A có AB bằng 8 cm AC bằng 12 cm. Người ta lấy các điểm D, E, F trên các cạnh của tam giác sao cho CD = 1/2 BC BE= 1/4 AB; AF = 1/3 AC
Tính diện tích tam giác DEF
Cho tam giác ABC, góc A = 90 độ. Tìm vị trí của các điểm D, E ,F theo thứ tự nằm trên các cạnh BC, AC, AB sao cho tam giác DEF vuông tại D đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích nhỏ nhất.
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi O là giao điểm của hao đường chéo AC và BD. Trên các đoạn thẳng AB và OC lần lượt lấy các điểm E,F sao cho AE=căn hai của hai nhân OF
a) hãy Chứng minh tam giác DEF là tam giác vuông cân
b)giả sử AE=2EB. Tính diện tích tam giác DEF theo a
Xem chi tiết
a/ ˆDCE+ˆECF=180oDCE^+ECF^=180o
=> ˆECF=90oECF^=90o
Xét t/g DEC và t/g BFC có
EC = FC (GT)
ˆDCE=ˆBCF=90oDCE^=BCF^=90o
DC = BC (do ABCD là hình vuông)
=> t/g DEC = t/g BFC (c.g.c)
=> DE = BF (2 cạnh t/ứ(
b/ Xét t/g BEH và t/g DEC có
ˆBEH=ˆDECBEH^=DEC^ (đối đỉnh)
ˆEBF=ˆEDCEBF^=EDC^ (do t/g BFC = t/g DEC)
⇒ΔBEH∼ΔDEC⇒ΔBEH∼ΔDEC (g.g)
=> ˆBHE=ˆDCB=90oBHE^=DCB^=90o
=> DE⊥BFDE⊥BF
Xét t/g BDF có
DE ⊥ BF
BC ⊥ DF
DE cắt BC tại E
=> E là trực tâm t/g BDF
=> .... đpcm
c/ Xét t/g CEF có CE = CF ; M là trung điểm EF
=> CM ⊥ EF
=> ˆKMC=90oKMC^=90o
Tự cm OKMC làhcn
=> OC = KM => AO = KM
Mà AO // KM (cùng vuông góc vs BD)
=> AOMK là hbh
=> OM // AK
😱😱😱😱😱 oh mai gót!