)Tam giác ABC có AB=30cm, AC=40cm. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD=AB. Qua A kẻ đường d vuông góc với BD. Gọi M là điểm bất kì thuộc đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng BM+MC

Dựng bên ngoài tam giác ABC tam giác ABD đều.

Vẽ tam giác AME đều sao cho D, E nằm cùng phía so với AM.

Dễ thấy \(\Delta AED=\Delta AMB\left(c.g.c\right)\).

Suy ra ED = MB.

Ta có \(MA+MB+MC=ME+ED+MC\ge CD\) không đổi.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M thuộc CD và \(\widehat{AMD}=60^o\).

Giả sử tìm được điểm M trong \(\Delta ABC\)thỏa mãn đề bài.Vẽ các tam giác đều \(AMM_1\)và \(ACM_2\)ta có :

\(\Delta AM_1M_2=\Delta AMC\left(c-g-c\right)\)

Do đó \(M_1M_2=MC\)

Vậy \(MA+MB+MC=BM+MM_1+M_1M_2\)

Tổng này đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi bốn điểm \(B,M,M_1,M_2\)thẳng hàng

Khi đó : \(\widehat{BMA}+\widehat{AMM_1}=180^0\)và \(\widehat{AM_1M}+\widehat{AM_1M_2}=180^0\)

Mà \(\widehat{AMM_1}=\widehat{AM_1M}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AM_1M_2}=120^0\)

Vì \(\Delta AMC=\Delta AM_1M_2\),do đó \(\widehat{AMC}=\widehat{AM_1M_2}=120^0\)

Vậy M là điểm nằm trong tam giác ABC và \(\widehat{ABM}=\widehat{BMC}=\widehat{CMA}=120^0\).