thánh mới biết dc

+\(10=x+3y=x+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}\ge10\sqrt[10]{\frac{1}{3^9}x.y^9}\)

\(=\frac{10}{3}.\sqrt[10]{3}.\sqrt[10]{xy^9}\)

\(\Rightarrow xy^9\le3^9\)

+\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{3y}}+\frac{3}{\sqrt{3y}}+.....+\frac{3}{\sqrt{3y}}\)

\(\ge10\sqrt[10]{\frac{3^9}{\sqrt{3^9x.y^9}}}\ge10\sqrt[10]{\frac{3^9}{\sqrt{3^9.3^9}}}=10\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=1;y=3\)

x + 25 = 64

x         = 64 - 25

x         = 39

Vậy x = 39

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{x}}.\frac{1}{\sqrt{x}}.x}=3\left(1\right)\)

\(\frac{27}{\sqrt{3y}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}+3y\ge3\sqrt[3]{\frac{27}{\sqrt{3y}}.\frac{27}{\sqrt{3y}}.3y}=27\left(2\right)\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1) và (2) ta được: \(2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\right)+x+3y\ge30\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\right)\ge30-\left(x+3y\right)\ge20\)(Do theo giả thiết thì \(x+3y\le10\))

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge10\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT SVac-xơ:

\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{9}{\sqrt{3y}}+\frac{9}{\sqrt{3y}}+\frac{9}{\sqrt{3y}}\geq \frac{(1+3+3+3)^2}{\sqrt{x}+3\sqrt{3y}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\geq \frac{100}{x+3\sqrt{3y}}(1)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x+3y)(1+9)\geq (\sqrt{x}+3\sqrt{3y})^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{x}+3\sqrt{3y}\leq \sqrt{10(x+3y)}\leq 10(2)\) do \(x+3y\leq 10\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\geq \frac{100}{x+3\sqrt{3y}}\geq \frac{100}{10}=10\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{\sqrt{x}}{1}=\frac{\sqrt{3y}}{3}; x+3y=10\Rightarrow x=1;y=3\)

Cái này là BĐT Schwarz nha bạn

+) Áp dụng BĐT Cô - si cho 4 số dương x; x; y; z ta có:

x+x+y+z≥44√x.x.y.z

=> 2x + y + z ≥44√x.x.y.z                  (1)

Với 4 số dương 1x ;1x ;1y ;1z  ta có: 1x +1x +1y +1z ≥4.4√1x .1x .1y .1z     (2)

Từ (1)(2) => (2x+y+z)(1x +1x +1y +1z )≥4.4√x.x.y.z4.4√1x .1x .1y .1z =16

=> 12x+y+z ≤116 .(2x +1y +1z ) (*)

Tương tự, ta có: 1x+2y+z ≤116 .(1x +2y +1z )   (**)

1x+y+2z ≤116 .(1x +1y +2z )                           (***)

Từ (*)(**)(***) => Vế trái ≤116 (4x +4y +4z )=14 .(1x +1y +1z )=14 .4=1

=> đpcm

Áp dụng BĐT Cauchy- schwarz:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z\))

giả sử tồn tại hai số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức :

\(\frac{1}{x+y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+y}=\frac{y+x}{xy}\)

\(\Rightarrow xy=\left(x+y\right)\left(y+x\right)\)

\(\Rightarrow xy=\left(x+y\right)^2\)

Mà x và y là hai số trái dấu => ( x + y )² > 0 còn xy < 0 

Vậy ...

Cho abc=1 va a3>36.CMR:a23+b2+c2>ab+bc+ca}

Lời giải:

VT−VP=a24+b2+c2−ab−bc+2bc+a212=(a2−b−c)2+a2−36bc12>0⇒ đpcm

Cách khác:

Từ giả thiết suy ra a>0 và bc>0. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

a23+(b+c)2−3bc−a(b+c)≥0⟺13+(b+ca)2−b+ca−3a3≥0

Vì a3>36 nên

a) Ta có : \(|x+y|\le|x|+|y|\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le\left(|x|+|y|\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2.x.y+y^2\le x^2+2.|x|.|y|+y^2\)

\(\Leftrightarrow xy\le|x||y|\)

Do bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức đầu đúng.

Dấu bằng xảy ra khi \(xy=|x||y|\Rightarrow xy\ge0\)

b) Từ câu (a) ta có:  \(|x-y|+|y|\ge|x-y+y|=|x|\)

\(\Rightarrow|x-y|\ge|x|-|y|\)

Dấu bằng xảy ra khi A-B và B cùng dấu.

\(\frac{1}{x+y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

=> \(\frac{1}{x+y}=\frac{x+y}{xy}\)

=> (x + y)² = xy

Vì (x + y)² >= 0 (1)

Mà xy < 0 (vì x, y trái dấu) (20

Từ (1) và (2) => Ko tồn tại x, y thỏa mãn đề bài.

Cho **** nha