Hình thang ABCD có AB//CD, AB<CD, E, F lần lượt là trg điểm của AC, BD
Kéo dài EF cắt DC tại I
Tam giác ABF=IDF(gcg)~> F là trg điểm của AI và AB=DI~> EF=1/2 IC và DC-AB=IC~> đpcm

EF sai cắt DC tại I ,EF//DC mà

câu này dễ

 Vẽ hình thang ABCD, AB song song với CD. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của BD và AC. Lấy H và K lần lượt là trung điểm của BC và AD.
Xét tam giác BCD có: - KB = KC (gt)
- MB = MD (gt)
MK là trung bình của BCD.
MK song song và bằng ½ CD
Tương tự như trên ta có:
- HN là trung bình ADC. HN song song và bằng ½ CD.
- HM là trung bình ABD. HM song song và bằng ½ AB.
- KN là trung bình của CAB. KN song song và bằng ½ AB.
H, M, N, K thẳng hàng (tiên đề Ơ – clit)
HK là trung bình của hình thang ABCD (tự chứng minh).
HK = (AB + CD)/2 (t/c)
HM + NK + KM + HN = 2HK.
mà MN = HK – HM – NK
MN = (HM + NK + KM + HN)/2 – HM – NK
= (AB + CD)/2 – AB
= 1/2AB – AB + CD/2
= CD/2 – 1/2AB
= (CD – AB)/2 (đpcm)

Hình thang ABCD có AB//CD, AB<CD, E, F lần lượt là trg điểm của AC, BD
Kéo dài EF cắt DC tại I
Tam giác ABF = IDF (gcg)

=> F là trung điểm của AI và AB = DI

=> EF = 1/2 IC và DC-AB=IC 

=> đpcm

cho hỏi bài cua bạn đầu tiên có chỗ 1/2AB - AB + CD/2 lại = CD/2 - 1/2AB

đáng lẽ phai bằng -3/2AB - CD/2 chứ

Lấy P và Q lần lượt là trung điểm của OB và OC.

Xét \(\Delta\)BOC có: D là trung điểm của BC; P là trung điểm của OB => DP là đường trung bình \(\Delta\)BOC

=> DP // OC và DP = 1/2.OC. Mà Q là trung điểm OC => DP // OQ và DP = OQ

Xét tứ giác DPOQ có: DP // OQ; DP = OQ => Tứ giác DPOQ là hình bình hành

=> ^DPO = ^DQO (1)

Xét \(\Delta\)BHO: ^OHB = 90⁰; P là trung điểm OB => HP = OP = BP

Lại có: Tứ giác DPOQ là hbh (cmt) => OP = DQ => HP = DQ

Tương tự ta cũng có: DP = KQ

Mặt khác: HP = BP (cmt) => \(\Delta\)BHP cân tại P

Xét \(\Delta\)BHP cân đỉnh P có góc ngoài là ^HPO => ^HPO = 2.^HBP = 2.^ABO (2)

Tương tự: ^KQO = 2.^ACO (3)

Từ (2) và (3) kết hợp với ^ABO = ^ACO (gt) => ^HPO = ^KQO (4)

Từ (1) và (4) suy ra ^DPO + ^HPO = ^DQO + ^KQO => ^HPD = ^DQK

Xét \(\Delta\)PHD và \(\Delta\)QDK có: DP = KQ; HP = DQ; ^HPD = ^DQK => \(\Delta\)HPD = \(\Delta\)QDK (c.g.c)

=> HD = DK (2 cạnh tương ứng) => \(\Delta\)HDK cân ở D

Xét \(\Delta\)HDK cân đỉnh D có M là trung điểm cạnh HK => DM vuông góc HK (đpcm).

@Nguyễn Tất Đạt hình thang nào ạ?

mk có tội lỗi chi đâu mà phải chứng minh

Gọi M là trung điểm của cạnh AC .

Xét tam giác ABC ta có :

\(\hept{\begin{cases}NA=NC\left(gt\right)\\IB=IC\left(gt\right)\end{cases}\Rightarrow}\)   NI là đường trung bình của tam giác ABC  

\(\Rightarrow NI=\frac{1}{2}AB\) ( tính chất đường trung bình)  (1)

Xét tam giác ACD ta có :

\(\hept{\begin{cases}NA=NC\left(gt\right)\\KA=KD\left(gt\right)\end{cases}\Rightarrow}KN\)là đường trung bình của tam giác ACD

\(\Rightarrow KN=\frac{1}{2}CD\) ( Tính chất đường TB )   (2)

Từ (1) và (2)

=> N ; I ; K thẳng hàng  ( tiên đề Ơ-cơ-lít)

Vì \(IK=NK-NI\)

\(\Rightarrow IK=\frac{CD-AB}{2}\)   (đpcm)

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ K,E,F thẳng hàng 

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ ABEN là hình bình hành

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ BE=AN ; góc A = góc ENF ( đồng vị)  (1)

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ góc AKD = 90   

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ tam giác AKD vuông  tại K có đường trung tuyến KF

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ góc A = góc AKF   (2)

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ góc AKF = góc NEF    (3)

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ góc ENF = góc NEF

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ tam giác ENF cân 

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ FN= FE       (4)

AD&#x2212;BC2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-table; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">AD−BC2   (5)

(4) VÀ (5) suy ra đpcm

xin lỗi , lỗi kĩ thuật ấy

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ K,E,F thẳng hàng 

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ ABEN là hình bình hành

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ BE=AN ; góc A = góc ENF ( đồng vị)  (1)

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ góc AKD = 90   

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ tam giác AKD vuông  tại K có đường trung tuyến KF

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ góc A = góc AKF   (2)

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ góc AKF = góc NEF    (3)

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ góc ENF = góc NEF

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ tam giác ENF cân 

&#x21D2;" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.06px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇒ FN= FE       (4)

FN = FA - NA

     =  FA - BE

=\(\frac{AD-BC}{2}\left(5\right)\)

(4) VÀ (5) suy ra đpcm