Bài 1 : Tìm số tự nhiên có 2 chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số của nó là lớn nhất
Bài 2 : Với các số nguyên dương a ,b,c,d
Nếu : \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)thì \(\frac{a}{b}< \frac{a+b}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Bài 1: Các câu sau, câu nào đúng,câu nào sai?
a) Mọi số hữu tỉ dương đều lớn hơn 0
b) Nếu a là số hữu tỉ âm thì a là số tự nhiên
c) Nếu a là số tự nhiên thì a là số hữu tỉ âm
d) 0 là số hữu tỉ dương
Bài 2: Cho 2 số hữu tỉ a/b và c/d với b,d>0
Chứng minh: Nếu \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) thì \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Vận dụng: Viết 2 số xen giữa 2 số hữu tỉ -1/5 và 1/5
Bài 1: Các câu sau, câu nào đúng,câu nào sai?
a) Mọi số hữu tỉ dương đều lớn hơn 0 Đ
b) Nếu a là số hữu tỉ âm thì a là số tự nhiên S
c) Nếu a là số tự nhiên thì a là số hữu tỉ âm S
d) 0 là số hữu tỉ dương S
a/b < c/d => ad < cb
=> ad + ab < bc + ab
=> a ( d+b) < b ( a +c)
=> a/b < a+ c/d +b (1)
* a/b < c/d => ad < cb
=> ad + cd < cb + cd
=> d ( a +c) < c ( b+d)
=> c/d > a + c/b + d (2)
Từ (1) và (2) => a/b < a+c/b + d < c/d
Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho tỉ số của số đó và tổng các chữ số của nó có giá trị nhỏ nhất
Bài 2: Tìm a,b,c \(\in\)Z* sao cho:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Bài 3: Tìm ab biết:
aa . ab = abb + b
Bài 9 : Cho phân số :
\(A\)= \(\frac{6n-4}{2n+3}\)\(\left(n\in Z\right)\)
a) Tìm n để A nhận giá trị là số nguyên
b) Tìm n để A rút gọn được
c) Tìm n để A đạt giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất
Bài 10 : Cho phân số :
B = \(\frac{8n+193}{4n+3}\)\(\left(n\in Z\right)\)
a) Tìm n để B có giá trị là số nguyên tố
b) Tìm n để B là phân số tối giản
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B
Bài 11 :
a) Tìm số tự nhiên có 2 chữ số sao cho tỉ số của số đó với tổng các chữ số của nó là nhỏ nhất , lớn nhất
b) Tìm số tự nhiên có 3 chữ số sao cho tỉ số của số đó với tổng các chữ số của nó là nhỏ nhất , lớn nhất
Mình cần trình bày đầy đủ nhé !! CẢM ƠN NHÌU
Bài 1: Cho a,b,c là số nguyên dương. Chứng tỏ s không là số tự nhiên :
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)
Bài 2 : Tìm các số tự nhiên a,b,c sao cho:
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=1\)
CMR nếu :
Bài 1 : ( a + b +c - d ) . ( a - b -c - d ) = ( a + b - c + d ) . ( a - b + c - d ) thì \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c-d}{c+d}\)
Bài 2 : Tìm 1 số có 3 chư số biết số đó chia hết cho 6 và các chữ số đó tỉ lệ lần lượt là 1 : 2 : 5
1 Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số của nó là lớn nhất , nhỏ nhất.
2 Tìm số tự nhiên có 3 chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số của nó là số lớn nhất , nhỏ nhất .
Bai 2 so minh da giai roi minh se giai bai 3 chu so nhe no tuong tu nhu bai 2 chu so chi khac mot chut ve cach nhan xet
Goi abc la so co 3 chu so (a >0 va a,b,c<10)
Theo de bai ta co
abc: (a+b+c) co gia tri nho nhat
Phan h cau tao so
abc = 100a +10b + c = 10(a+b+c) + 90a -9c
( Thêm vao 9xc va bớt ra 9xc)
thay the vao ta co
(10x(a+b+c) + 9(10a-c) ) : (a+b+c) = 10 + 9(10a-c) : ( a+b+c)
Nhan xet : 10 + 9(10a - c) : (a+b+c) dat gia tri nho nhat khi 9x(10a-c) : (a+b+c) dat gia tri lon nhat vi so 10 la khong thay doi
Xet phan so 9x(10a-c) : (a+b+c) phai dat gia tri nho nhat ma phai la so nguyen vay chi co the la tu so bang mau so
9x(10a-c) = a+b+c
gia su a , b,c nhan gia tri lon nhat va de bang 9
9+9+9 =27
suy ra 9x(10a-c) < 28
ta co 10a- c phải nho hơn 4 vi nếu bằng 4 thi 9x4 =36>27
Hiẹu 10a-c < 4 khi a bang 1 moi thoa dieu kien
thay vao phan so dang xet
9(10-c) = 1 + b+ c
90-9c =1+b+c
----> 10c = 89-b
de hieu 89-c chia het cho 10 thi hang don vi cua hieu do phai bang 0
Vậy : 9-b=0 <----> b = 9
----> c = (89-9) : 10 = 8
Kết luận de phân so abc : (a+b+c) dat gia tri nho nhat khi
a = 1, b = 9, c = 8
DS : so can tim de phan so co 3 chu so dat gia tri nho nhat la 198
ban lam tuong tu nhu phan tren de tim phan so co 3 chu so dat gia tri lon nhat nhe chuc ban thanh cong
bài 1 : a) cho đa thức P(x)= ax3+bx2+cx+d với a,b,c,d là các hệ số nguyên. CMR: nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a,b,c,d đều chia hết cho 5
b) cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. CMR: n4+4n là hợp số
bài 2: a) CMR: \(\frac{a^4+b^4}{2}>,=ab^3+a^3b-a^2b^2\)
b) cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn đk \(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}=2\)
TÌm GTLN của tích (a+b)(b+c)(c+a)
bài 1b
+)Nếu n chẵn ,ta có \(n^4⋮2,4^n⋮2\Rightarrow n^4+4^n⋮2\)
mà \(n^4+4^n>2\)Do đó \(n^4+4^n\)là hợp số
+)nếu n lẻ đặt \(n=2k+1\left(k\in N\right)\)
Ta có \(n^4+4^n=n^4+4^{2k}.4=\left(n^2+2.4k\right)^2-2n^2.2.4^k\)
\(=\left(n^2+2^{2k+1}\right)^2-\left(2.n.2^k\right)^2\)
\(=\left(n^2+2^{2k+1}+2n.2^k\right)\left(n^2+2^{2k+1}-2n.2^k\right)\)
\(=\left(\left(n+2^k\right)^2+2^{2k}\right)\left(\left(n-2^k\right)^2+2^{2k}\right)\)
là hợp số,vì mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2
(nhớ k nhé)
Bài 2a)
Nhân 2 vế với 2 ta có
\(a^4+b^4\ge2ab\left(a^2+b^2\right)-2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge2ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Dẫu = xảy ra khi \(a=b\)
dat a+b=x b+c=y c+a=z \(\Rightarrow\) dt tro thanh \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\) \(\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\) (bdt amgm)
tuong tu \(\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}\) \(\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)
\(\frac{\Rightarrow1}{x+1}.\frac{1}{y+1}.\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}.2\sqrt{\frac{xz}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}}.2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)
=\(8.\frac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
\(\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)dau = xay ra khi x=y=z=1/2 hay a=b=c=1/4
1 người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2014 liền nhau thành 1 số tự nhiên P(P=12345678910111213.........20132014) hỏi số tự nhiên P có bao nhiêu chữ số
2 cho n là số nguyên tố >3 hỏi n2+2015 là số nguyên tố hay hợp số
3 tìm các chữ số x,y sao cho 1994xy chia hết cho 72
4 tìm các số tự nhiên x,y sao cho \(\frac{x}{9}-\frac{3}{y}=\frac{1}{18}\)
5 tìm các số tự nhiên a;b;c;d nhỏ nhất sao cho \(\frac{a}{b}=\frac{5}{14};\frac{b}{c}=\frac{21}{28};\frac{c}{d}=\frac{6}{11}\)
1/ P = 123456....20132014
Từ 1 - 9 có 9 chữ số
từ 10 -99 có: [[99-10]: 1 + 1]x 2 = 180 chữ số
từ 100 - 999 có: [[999-100]: 1 + 1] x 3 = 2700 chữ số
từ 1000 - 2014 có: [[2014 - 1000]: 1 + 1] x 4 = 4060 chữ số
=> P có: 4060 + 2700 + 180 + 9 = 6949 chữ số
2/
n là số n tố > 3 => n lẻ => 22 lẻ
=> n2+ 2015 chia hết cho 2 nên là hợp số
3/
Gọi 1994xy là A. A chia hết cho 72 => A chia hết cho 8 và 9
Vì A chia hết cho 8 nên A chẵn => y E {0; 2; 4; 6; 8}
* nếu y = 0 => x = 4
* nếu y = 2 => x = 2
* nếu y = 4 => x E {0; 9}
* nếu y = 6 => x = 7
* nếu y = 8 => x = 5
Vậy [x,y] = [0;4],[2;2],[4;0 và 9],[6;7],[8;5]
4/
x/9 - 3/ y = 1/18
=> 2x/18 - 3/y = 1/18
=> 3/y = 1/18 - 2x/18
=> 3/y = 1-2x/18
=> y - 2xy = 54=> y[1-2x] = 54
mà 1 - 2x lẻ nên y chẵn
mà y thuộc ước 54 => y E {-2;2;-6;6;-18;18;-54;54}
y | -2 | 2 | -6 | 6 | -18 | 18 | -54 | 54 |
1-2x | -27 | 27 | -9 | 9 | -3 | 3 | -1 | 1 |
2x | 28 | -26 | 10 | -8 | 4 | -2 | 2 | 0 |
x | 14 | -13 | 5 | -4 | 2 | -1 | 1 | 0 |
vậy: [x,y] = [14;-2],[2;-13],[-6;5],[6;-4],[-18;2],[18;-1],[-54;1],[54;0]
5/
Theo đề bài, ta có:
b E BC[14, 21]
mà b nhỏ nhất nên b = 42
=> 14a = 42 . 5
=> a = 15;
=> 21c = 28 . 42
=> c = 56;
từ đó suy ra
6d = 11 . 56
=> d = 308/3
=> d k là số tự nhiên. Vậy a,b,c,d E tập rỗng
Bài 1 :
Cho phân số có tổng bằng -3 và tích bằng \(\frac{12}{5}\). Tính tổng các số nghịch đảo của 2 phân số đó.
Bài 2 :
Tích của 2 phân số là \(\frac{2}{5}\). Nếu thêm vào thừa số thứ hai 3 đơn vị thì tích là \(\frac{28}{15}\). Tìm 2 phân số đó .
Bài 3 :
Tìm phân số dương lớn nhất \(\frac{a}{b}\)sao cho khi lấy các phân số \(\frac{-4}{9}\);\(\frac{-5}{8}\); \(\frac{7}{12}\)chia cho \(\frac{a}{b}\)thì được thương là các số nguyên.
Bài 4 :
Tìm phân số dương nhỏ nhất \(\frac{a}{b}\);sao cho khi lấy \(\frac{a}{b}\)chia cho các phân số \(\frac{5}{333}\); \(\frac{10}{111}\); \(\frac{15}{222}\)thì được thương là các số tự nhiên.
Từng bài 1 thôi bn!
b2: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{2}{5}\left(1\right)\Rightarrow\frac{ac}{bd}=\frac{2}{5}\left(3\right)\)
\(\frac{a}{b}\cdot\left(\frac{c}{d}+3\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{ac}{bd}+\frac{3a}{b}=\frac{28}{15}\left(4\right)\)
(4) thành \(\frac{2}{5}+\frac{3a}{b}=\frac{28}{15}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{22}{45}\)
(1) thành \(\frac{22}{45}\cdot\frac{c}{d}=\frac{2}{5}\Rightarrow\frac{c}{d}=\frac{9}{11}\)