Ta có: \(A=1-\left[\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3-...-\left(\frac{3}{4}\right)^{2010}\right]\)

=> Để  \(A\in N\)thì \(\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3-...-\left(\frac{3}{4}\right)^{2010}\in Z\)

=> \(3-3^2+3^3-...-3^{2010}\)phải chia hết cho 4.

Ta có: 3 - 3² + 3³ - ... . 3²⁰¹⁰ = (3 - 3²) + (3³ - 3⁴) + ... + (3²⁰⁰⁹ - 3²⁰¹⁰) =

       = (3.1-3.3)+...+(3²⁰⁰⁹.1+3²⁰¹⁰.3) -> có 2010 / 2 = 1005 nhóm tất cả.

          (3.1-3.3)+...+(3²⁰⁰⁹.1+3²⁰¹⁰.3) = 3.(-2)+3³.(-2)+...+3²⁰⁰⁹.(-2) = (-2).(3+3³+...+3²⁰⁰⁹) không chia hết cho 4.

 Vậy \(A\notin Z\)

  Ta có: A=1−[34 −(34 )²+(34 )³−...−(34 )²⁰¹⁰]

=> Để  A∈Nthì 34 −(34 )²+(34 )³−...−(34 )²⁰¹⁰∈Z

=> 3−3²+3³−...−3²⁰¹⁰phải chia hết cho 4.

Ta có: 3 - 3² + 3³ - ... . 3²⁰¹⁰ = (3 - 3²) + (3³ - 3⁴) + ... + (3²⁰⁰⁹ - 3²⁰¹⁰) =

       = (3.1-3.3)+...+(3²⁰⁰⁹.1+3²⁰¹⁰.3) -> có 2010 / 2 = 1005 nhóm tất cả.

          (3.1-3.3)+...+(3²⁰⁰⁹.1+3²⁰¹⁰.3) = 3.(-2)+3³.(-2)+...+3²⁰⁰⁹.(-2) = (-2).(3+3³+...+3²⁰⁰⁹) không chia hết cho 4.

 Vậy A∉Z

Đặt A là (1)

Ta có:

\(\frac{3}{4}A=\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3-\left(\frac{3}{4}\right)^4+...-\left(\frac{3}{4}\right)^{2010}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2011}\left(1\right)\)

cộng (1) và (2)theo vế ta được:

\(A+\frac{3}{4}A=1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2011}\Rightarrow\frac{7}{4}A=1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2011}\Rightarrow A=\left(1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2011}\right).\frac{4}{7} \)

=>A>0 (3)

Mà \(\left(\frac{3}{4}\right)^{2011}< \frac{3}{4}\Rightarrow A< \left(1+\frac{3}{4}\right).\frac{4}{7}=1\left(4\right)\)

Từ (3) và (4)=>0<A<1 => A không phải là số nguyên => ĐPCM

\(\frac{3}{4}A=\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3-\left(\frac{3}{4}\right)^4+...-\left(\frac{3}{4}\right)^{2018}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2019}\)

\(\frac{3}{4}A+A=\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3-\left(\frac{3}{4}\right)^4+...-\left(\frac{3}{4}\right)^{2018}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2019}+1-\frac{3}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^2...\)( Bn tự ghi lại A do máy mình ko đủ độ rộng )

\(\frac{7}{4}A=\left(\frac{3}{4}\right)^{2019}+1\)

\(A=\text{ }\left[\left(\frac{3}{4}\right)^{2019}+1\right]:\frac{7}{4}\)

\(A=\text{ }\frac{\left[\left(\frac{3}{4}\right)^{2019}+1\right].4}{7}\)

=> A là phân số

=> A ko phải số nguyên

​Tích đi sau làm

tich di mk giai cho

\(\frac{3}{4}A=\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3-\left(\frac{3}{4}\right)^4+\left(\frac{3}{4}\right)^5-....-\left(\frac{3}{4}\right)^{2010}\)

\(A+\frac{3}{4}A=1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2010}\)

\(\frac{7}{4}A=1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2010}\)

\(A=\frac{4}{7}\left(1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2010}\right)khong\:làsốnguyên\)

\(A+\frac{3}{4}A=1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2011}\)

\(\Leftrightarrow\frac{7}{4}A=1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2011}\)

\(\Leftrightarrow A=\left(1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2011}\right):\frac{7}{4}=\frac{4}{7}\left(1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2011}\right)\)

Vì \(1<1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2011}<1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}\)

=> 4/7 < A < 4/7 .7/4 =1  =>  A không là số nguyên