\(ĐKXĐ:x\ne-1;x\ne-\frac{1}{2}\)

\(PT:\Leftrightarrow\frac{x^2-4x+1}{x+1}+1+\frac{x^2-5x+1}{2x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-3x+2}{x+1}+\frac{x^2-3x+2}{2x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-3x+2\right)\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2x+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-3x+2\right)\left(3x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(3x+2\right)=0\)

\(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

\(x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

\(3x+2=0\Leftrightarrow3x=-2\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=2\\x=-\frac{2}{3}\end{cases}}\)

\(\frac{x^2-4x+1}{x+1}+2=-\frac{x^2-5x+1}{2x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+1\right)\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)\left(2x+1\right)=-\left(x^2-5x+1\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^3-3x^2+4x+3=-x^3+4x^2+4x-1\)

\(\Leftrightarrow2x^3-3x^2+3+x^2-4x+1=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-7x^2+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x^2-4x-4\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x^2+2x-6x-4\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[x\left(3x+2\right)-2\left(3x+2\right)\right]\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+2\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x+2=0\\x-2=0\\x-1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\x=2\\x=1\end{cases}}\)

vậy:...

    1. Phương pháp 1: ( Hình 1)

        Nếu  thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

    2. Phương pháp 2: ( Hình 2)

        Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

       (Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7)

    3. Phương pháp 3: ( Hình 3)

        Nếu AB  a ; AC  A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

        ( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng

        a^’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước

        - tiết 3 hình học 7)

        Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một

        đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7)

    4. Phương pháp 4: ( Hình 4)

        Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy

        thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.

        Cơ sở của phương pháp này là:                                                        

        Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .

     * Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ,

                   thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

    5. Nếu K là trung điểm BD, K^’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K^’

       Là trung điểm BD  thì K^’  K thì A, K, C thẳng hàng.

      (Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)

C. Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp:

                                                                Phương pháp 1

    Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA

                     (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm

                     D sao cho CD = AB.

                     Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.

     Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh

               Do nên cần chứng minh

BÀI GIẢI:

               AMB và CMD có:                                                       

                   AB = DC (gt).

                    MA = MC (M là trung điểm AC)                                              

               Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra:

               Mà   (kề bù) nên .

               Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.

    Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà  AD = AB, trên tia đối

                     tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED

                      sao cho CM = EN.

                    Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.

Gợi ý: Chứng minh  từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng.

BÀI GIẢI (Sơ lược)

          ABC = ADE (c.g.c)

          ACM = AEN (c.g.c)

          Mà  (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên

Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)

BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1

Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối

          của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và

          CD.

          Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx  BC (tia Cx và điểm A ở

          phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia

          BC lấy điểm F sao cho BF = BA.

          Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm

          E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC)

          Gọi M là trung điểm HK.

          Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.

Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ

          Hai tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C),

          trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.

          Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các

          đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.

          Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

                                                              PHƯƠNG PHÁP 2

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên

                  Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung  

                 điểm BD và N là trung điểm EC.

                  Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.

Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2                                            

                  Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.

BÀI GIẢI.

                 BMC và DMA có:

                   MC = MA (do M là trung điểm AC)

                    (hai góc đối đỉnh)

                   MB = MD (do M là trung điểm BD)

                  Vậy: BMC = DMA (c.g.c)

                   Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)

                   Chứng minh tương tự : BC // AE (2)

                   Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)

                   và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. 

   Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng  AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia

                 AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho

                 D là trung điểm AN. 

a) \(\frac{5x-2}{2-2x}+\frac{2x-1}{2}+\frac{x^2+x-3}{1-x}=1\)

ĐK: x≠1

<=>\(\frac{5x-2}{2\left(1-x\right)}+\frac{2x-1}{2}\frac{x^2+x-3}{1-x}=1\)

<=>\(\frac{5x-2+\left(1-x\right).\left(2x-1\right)+2\left(x^2+x-3\right)}{2\left(1-x\right)}=1\)

<=>\(\frac{5x-2+2x-1-2x^2+x+2x^2+2x-6}{2\left(1-x\right)}=1\)

<=>\(\frac{10x-9}{2\left(1-x\right)}=1\)

<=> 10x-9=2(1-x)

<=>10x-9=2-2x

<=> 10x+2x= 2+9

<=> 12x=11

<=> x= \(\frac{11}{12}\left(tm\right)\)

b) \(\frac{6x-1}{2-x}+\frac{9x+4}{x+2}=\frac{3x^2-2x+1}{x^2-4}\)

ĐK: x≠2, x≠-2

<=>\(\frac{6x-1}{-\left(x-2\right)}+\frac{9x+4}{x+2}-\frac{3x^2-2x+1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=0\)

<=> -(x+2).(6x-1)+(x-2).(9x+4)-(3x²-2x+1)=0

<=> -(6x²-x+12x-2)+9x²+4x-18x-8-3x²+2x-1 = 0

<=> -6x²-11x+2+9x²+4x-18x-8-3x²+2x-1=0

<=> -23x-7=0

<=> -23x=7

<=> x= \(\frac{-7}{23}\left(tm\right)\)

tham khảo câu d trong

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/919967.html

c) \(\frac{1}{x-1}\)+\(\frac{2x^2-5}{x^3-1}\)=\(\frac{4}{x^2+x+1}\) (ĐKXĐ:x≠1)

⇔\(\frac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)+\(\frac{2x^2-5}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)=\(\frac{4\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

⇒x²+x+1+2x²-5=4x-4

⇔3x²-3x=0

⇔3x(x-1)=0

⇔x=0 (TMĐK) hoặc x=1 (loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:S={0}

Ta có:

\(\frac{x^2-5x+1}{2x+1}+2=\frac{x^2-5x+4x+1+2}{2x+1}\)

=\(\frac{x^2-x+3}{2x+1}=\frac{x^2-4x+1}{x+1}\)

=> (x² - x +3)(x+1)=(x² - 4x+1)(2x+1)

=>x³ +2x+3=2x³-7x²-2x+1

=>0=x³-7x²-4x-2

Đây là cách làm của mình :

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-5x+1}{2x+1}+1+1=\frac{x^2-4x+1}{x+1}\) 

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-5x+1}{2x+1}+1=\frac{x^2-4x+1}{x+1}-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-3x+2}{2x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{2x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=\left(2x+1\right)\left(x^2-5x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-1\right)=\left(2x+1\right)\left(x^2-5x\right)\)

Bạn tự nhân phân phối vào nha :

\(\Leftrightarrow x^3-2x^2-x+2=2x^3-9x^2-5x\)

\(\Leftrightarrow x^3-7x^2-4x-2=0\)

Đến đây chỉ có nước bấm máy tính thôi chứ phân tích bình thường không ra được đâu

CASIO fx-570VN PLUS : Mode --> 5 --> 4 : giải pt bậc 3 một ẩn

Kết quả cho là x = 7.563793497...

\(x^2-x-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-10=0\Leftrightarrow\frac{x^4-x^3-10x^2-x+1}{x^2}=0\)\(\Leftrightarrow x^4-x^3-10x^2-x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-4x^3+x^2\right)+\left(3x^3-12x+3x\right)+\left(x^2-4x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-4x+1\right)+3x\left(x^2-4x+1\right)+\left(x^2-4x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2-4x+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+3x+1=0\\x^2-4x+1=0\end{cases}}\)

giải từng trường hợp là ra nghiệm

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)